Площадь поверхностей, длины дуг, объемы тел вращения:

| $S$ | $l_{AB}$ | $V_{Ox}$ | $V_{Oy}$ | $S_{вращения}$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|$\int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$ | $\int_{a}^{b} \sqrt{1+(y(x)')^{2}}dx$|$\pi \int_{a}^{b} y^{2} dx$|$2\pi \int_{a}^{b} xy(x) dy$|$2\pi \int_{a}^{b}f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$|
|$\int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t) dt$|$\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x'_{t})^{2} + (y'_{t})^2}dt$|$\pi \int_{t_{a}}^{t_{b}} y^{2}(t) x'(t) dt$|$\pi \int_{t_{a}}^{t_{b}} x^{2}(t) y'(t) dt$|$2\pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}dt$|
|$\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \rho(\varphi)^{2}d\varphi$|$\int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} \sqrt{\rho^{2} + (\rho'_{\varphi})^{2}} d\varphi$|||$2\pi \int_{\alpha}^{\beta} \rho \sin(\phi) \sqrt{\rho^{2}+(\rho')^2}d\phi$|
$$
V_{пол.\ ось}=\frac{2\pi}{3} \int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} r^{3}(\varphi)\sin(\varphi) d\varphi
$$

Универсальная тригонометрическая подстановка:
$$
\begin{align}
t = \tan(\frac{x}{2})
\\
x = 2\arctan(x)
\\
dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}
\\
\sin(x)=\frac{2t}{1+t^{2}}
\\
\cos(x)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}
\end{align}
$$

Формулы понижения степени:
$$
\begin{align}
\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}
\\
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}
\\
\tan^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}
\end{align}
$$