\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, margin=1in}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[T2A]{fontenc}

\titleformat*{\section}{\large\bfseries}
\titleformat*{\subsection}{\normalsize\bfseries}

\title{Домашнее задание №2 по электротехнике}
\author{Давыдов Д.А.\ ИУ2-32}
\date{\today}

\pagestyle{headings}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\centering
\Large{\textbf{Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э. Баумана}}\\[4em]

\normalsize{Факультет: Электротехника и промышленная электроника}\\[1em]
\normalsize{Кафедра: ФН-7}\\[4em]

\Huge{\textbf{Домашнее задание №2\\ по электротехнике}}\\[8em]

\normalsize{Выполнил:}\\
\normalsize{Студент: Давыдов Д.А.}\\
\normalsize{Группа: ИУ2-32}\\[2em]

\vfill
\large{Москва, \the\year}
\end{titlepage}

\subsection{Исходные данные}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Slice 1@3x.png}
\end{figure}

\begin{align*}
E &= 30\, \text{В}\\
R &= 20\, \text{Ом}\\
R1 &= 50\, \text{Ом}\\
L &= 90 \times 10^{-3}\, \text{Гн}\\
C &= 40 \times 10^{-6}\, \text{Ф}
\end{align*}

\section*{Вопрос 1}
\subsection{До коммутации, $t = 0_-$}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Slice 2@3x.png}
\end{figure}

\begin{align*}
i_C &= 0; & U_C &= 0\\
i_L &= 0; & U_L &= 0
\end{align*}

\subsection{После коммутации, $t = \infty$}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Slice 3@3x.png}
\end{figure}

\begin{align*}
i_C &= 0; & U_L &= 0\\
E &= R_1  i_1 \\
i_1 &= \frac{E}{R_1} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6\\
i_L &= 0\\
0 &= U_C - R_1 i_1 + R i_C\\
U_C &= R_1 i_1 = 50 \times \frac{3}{5} = 30
\end{align*}

\subsection{Сразу после коммутации, $t = 0_+$}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Slice 4@3x.png}
\end{figure}

\subsection*{Законы коммутации:}
\begin{align*}
U_C(0_+) &= U_C(0_-) = 0\\
i_C(0_+) &= i_C(0_-) = 0\\
I_{11} &= J_L = 0
\end{align*}

\begin{align*}
E &= I_{22} R_1 & \Rightarrow I_{22} &= \frac{E}{R_1} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6\\
i_C &= I_{11} = 0\\
i_1 &= I_{22} = \frac{3}{5} = 0,6\\
i_C &= C\frac{dU_C}{dt} & \Rightarrow \frac{dU_C}{dt} &= 0\\
E - E_C &= U_L + R i_{C}\\
U_L &= E = 30\\
U_L &= L \frac{d i_L}{dt} & \Rightarrow \frac{d i_L}{dt} &= \frac{U_C}{L} = \frac{30}{90 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 10^{3}}{9} = \frac{1000}{3} = 333,33
\end{align*}

\section*{Вопрос 2}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Slice 5@3x.png}
\end{figure}

\begin{align*}
z(p) &= L_p + \frac{1}{C_p} + R\\
z(p) &= \frac{LC_{p}^2 + 1 + RC_p}{C_p}
\end{align*}

\begin{align*}
LC_p^2 + RC_p + 1 = 0\\
90 \times 10^{-3} \cdot 40 \times 10^{-6}p^2 + 20 \cdot 40 \times 10^{-6}p + 1 = 0\\
3,6 \times 10^{-6}p^2 + 0,0008p + 1 = 0 \\
p_{1,2} = - \frac{1000}{9} \pm \frac{1000\sqrt{21,5}}{9} = -111,11 \pm 515,201
\end{align*}

1)\\
$U_C(t) = A_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + A_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + 30$\\
$\frac{d U_C}{dt} = -\frac{1000}{9}A_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) -\frac{1000}{9}A_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) - \frac{1000}{9} A_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + \frac{1000}{9} A_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)$\\
$t = 0_+$\\
$
\begin{cases}
	0 = A_1 + 30
   \\
	0 = -\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}A_1 + \frac{1000}{9} A_2
\end{cases} 
\Rightarrow
\begin{cases}
	A_1 = -30
   \\
	A_2 = -\frac{30 \sqrt{86}}{43}
\end{cases}
$\\

$U_C(t) = -30 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) -\frac{30 \sqrt{86}}{43} e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + 30$\\

$U_C(t) = -30 e^{-111,11t} \cos(515,201t) - 6,47 e^{-111,11t} \sin(515,201t) + 30$\\

2)\\
$i_L(t) = B_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + B_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + 0$\\
$\frac{d i_L}{dt} = -\frac{1000}{9}B_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) -\frac{1000}{9}B_1 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) - \frac{1000}{9} B_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + \frac{1000}{9} B_2 e^{-\frac{1000}{9}t} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)$\\
$t = 0_+$\\
$
\begin{cases}
	0 = B_1
   \\
	\frac{1000}{3} = -\frac{1000}{9}B_1 + \frac{1000 \sqrt{21,5}}{9} B_2
\end{cases} 
\Rightarrow
\begin{cases}
	B_1 = 0
   \\
	B_2 = \frac{3 \sqrt{86}}{43} = 0,647
\end{cases}
$\\

$i_L(t) = \frac{3 \sqrt{86}}{43} e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)$\\

$i_L(t) = 0,647 e^{-111,11t} \sin(515,201 t)$\\

3)\\
$0 = -U_1 + R_1 i_1 - R_{i_{L}} \Rightarrow i_1 = \frac{U_L + R_{i_{L}}}{R_1} = \\ = \frac{ 90 \times 10^{-3} (-\frac{1000}{9} \cdot \frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + \frac{1000 \sqrt{21,5}}{9} \frac{3\sqrt{86}}{43} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)e^{-\frac{1000}{9}t}  }{50} + \frac{ 20 (\frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)) }{50}$\\
$i_1 = \frac{0,09 \left(-111.11 \cdot 0.647 e^{-111.11t} \sin(515.201t) + 515.201 \cdot 0.647 \cos(515.201t)e^{-111.11t} \right)}{50} + \frac{20 \left(0.647e^{-111.11t} \sin(515.201t)\right)}{50} $\\

4)\\
$i = i_1 + i_L = 1,8 \times 10^{-3} (-\frac{1000}{9} \frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t) + \frac{1000 \sqrt{21,5}}{9} \frac{3\sqrt{86}}{43} \cos(\frac{1000 \sqrt{21,5}}{9}t)e^{-\frac{1000}{9}t}) +\\+ 0,4(\frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000\sqrt{21,5}}{9}t) + \frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000\sqrt{21,5}}{9}t)) = 1,2 \frac{3\sqrt{86}}{43}e^{-\frac{1000}{9}t} \sin(\frac{1000\sqrt{21,5}}{9}t) +\\+ 0,2\sqrt{21,5} \frac{3\sqrt{86}}{43} \cos(\frac{1000\sqrt{21,5}}{9}t)e^{-\frac{1000}{9}t}$\\
$i = 1.2 \times 0.647 e^{-111.11t} \sin(515.201t) + 0.2 \times 4.637 \times 0.647 \cos(515.201t)e^{-111.11t}$

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{gr.png}
\end{figure}

\section*{Вопрос 3}
\begin{align*}
\tau = \frac{1}{\frac{1000}{9}} = \frac{9}{1000} = 0,009\\
t_{пер} = 4 \tau = \frac{36}{1000} \text{с} = 0,036 \text{с}
\end{align*}

\end{document}