\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\geometry{left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{caption}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{float}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}

\begin{document}

\begin{titlepage}
    \centering
    \vspace*{2cm}
    
    {\Large Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана}\\[1.5cm]
    
    \includegraphics[width=0.2\textwidth]{images/logo.jpg}\\[1.5cm]
    {\Large \textbf{Отчёт по стандартизации}}\\[0.5cm]
    {\Large Выполнение домашнего задания №1}\\[2cm]
    
    \begin{flushleft}
        \large
        \textbf{Группа:} \hfill ИУ2-52\\[0.3cm]
        \textbf{Выполнил:} \hfill Давыдов Д. А.\\[0.3cm]
        \textbf{Преподаватель:} \hfill Шевцова Е. В.\\[2cm]
    \end{flushleft}
    
    \vfill

    Москва, \today

\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage

\section{Исходные данные}

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Исходные данные для варианта 2}
\begin{tabular}{@{}cccccccccc@{}}
\toprule
$M$, Н·мм & $n$, об/мин & $L_h$, ч & $d_1$, мм & $d_2$, мм & $\beta_1$, град & $\beta_2$, град & $l_1$, мм & $l_2$, мм & $l_3$, мм \\ \midrule
600       & 1500        & 1200     & 10        & 30        & 0             & 12            & 15        & 15        & 15        \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{images/photo_2024-10-15.jpg}
\caption{Схема согласно условиям варианта 2}
\label{fig:schema}
\end{figure}

\section{Расчет вала на прочность}

\subsection{Расчет сил для 1-го зубчатого колеса}

\begin{align*}
F_{\text{окр}1} &= \dfrac{M}{\dfrac{d_1}{2}} = \dfrac{600\ \text{Н·мм}}{\dfrac{10\ \text{мм}}{2}} = 120\ \text{Н}; \\
F_{R1} &= \dfrac{F_{\text{окр}1} \cdot \tan{\alpha}}{\cos{\beta_1}} = \dfrac{120\ \text{Н} \cdot 0{,}364}{1} = 43{,}7\ \text{Н}; \\
F_{a1} &= F_{\text{окр}1} \cdot \tan{\beta_1} = 0; \\
M_{\text{изг}1} &= F_{a1} \cdot \dfrac{d_1}{2} = 0.
\end{align*}

\subsection{Расчет сил для 2-го зубчатого колеса}

\begin{align*}
F_{\text{окр}2} &= \dfrac{M}{\dfrac{d_2}{2}} = \dfrac{600\ \text{Н·мм}}{\dfrac{30\ \text{мм}}{2}} = 40\ \text{Н}; \\
F_{R2} &= \dfrac{F_{\text{окр}2} \cdot \tan{\alpha}}{\cos{\beta_2}} = \dfrac{40\ \text{Н} \cdot 0{,}364}{0{,}978} = 14{,}9\ \text{Н}; \\
F_{a2} &= F_{\text{окр}2} \cdot \tan{\beta_2} = 40\ \text{Н} \cdot 0{,}213 = 8{,}5\ \text{Н}; \\
M_{\text{изг}2} &= F_{a2} \cdot \dfrac{d_2}{2} = 8{,}5\ \text{Н} \cdot \dfrac{30\ \text{мм}}{2} = 127{,}5\ \text{Н·мм}.
\end{align*}

\subsection{Построение эпюр изгибающих моментов}

Согласно вычисленным значениям сил и моментов, построим эпюры в вертикальной и горизонтальной плоскости.

\subsubsection{Вертикальная плоскость}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/vertical_epure.png}
\caption{Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости}
\label{fig:vertical_epure}
\end{figure}

\textbf{Реакции в опорах:}

\begin{align*}
R_1 + R_2 + F_{R2} - F_{R1} &= 0; \\
3l + R_2 + 2l F_{R2} - F_{R1} l - M_{\text{изг}2} &= 0.
\end{align*}

Решая систему уравнений, получаем:

\begin{align*}
R_2 &= \dfrac{M_{\text{изг}2} + F_{R1} l - 2l F_{R2}}{3l} = \dfrac{112}{15}\ \text{Н}; \\
R_1 &= F_{R1} - R_2 - F_{R2} = \dfrac{64}{3}\ \text{Н}.
\end{align*}

\textbf{Моменты на участках:}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Первый участок} $(0 \leq z \leq l)$:
    \begin{align*}
    M(z) &= R_1 z; \\
    M(0) &= 0\ \text{Н·мм}; \\
    M(l) &= R_1 l = \dfrac{64}{3} \times 15 = 320\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
    \item \textbf{Второй участок} $(l \leq z \leq 2l)$:
    \begin{align*}
    M(z) &= R_1 z - F_{R2} (z - l); \\
	M(l) &= R_1 l = \dfrac{64}{3} \times 15 = 320\ \text{Н·мм}. \\
    M(2l) &= R_1 \times 2l - F_{R2} l = \dfrac{64}{3} \times 30 - 43{,}7 \times 15 = -15{,}5\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
    \item \textbf{Третий участок} $(2l \leq z \leq 3l)$:
    \begin{align*}
	M(z) &= M_{\text{изг}2} + R_1 z + F_{R2} (z - 2l) - F_{R1} (z - l); \\
	M(2l) &= 127{,}5 + \dfrac{64}{3} \times 30 - 43{,}7 \times 15 = 112\ \text{Н·мм}. \\
	M(3l) &= 127{,}5 + \dfrac{64}{3} \times 45 + 14{,}9 \times 15 - 43{,}7 \times 30 = 0\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
\end{enumerate}

\subsubsection{Горизонтальная плоскость}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/horizontal_epure.png}
\caption{Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости}
\label{fig:horizontal_epure}
\end{figure}

\textbf{Реакции в опорах:}

\begin{align*}
R_1 + R_2 + F_{\text{окр}2} + F_{\text{окр}1} &= 0; \\
3l + R_2 + 2l F_{\text{окр}2} + F_{\text{окр}1} l &= 0.
\end{align*}

Решая систему уравнений, получаем:

\begin{align*}
R_2 &= \dfrac{-F_{\text{окр}2} \times 2l - F_{\text{окр}1} l}{3l} = -\dfrac{200}{3}\ \text{Н}; \\
R_1 &= -R_2 - F_{\text{окр}2} - F_{\text{окр}1} = -\dfrac{280}{3}\ \text{Н}.
\end{align*}

\textbf{Моменты на участках:}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Первый участок} $(0 \leq z \leq l)$:
    \begin{align*}
    M(z) &= -R_1 z; \\
    M(0) &= 0\ \text{Н·мм}; \\
    M(l) &= -R_1 l = -\dfrac{280}{3} \times 15 = -1400\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
    \item \textbf{Второй участок} $(l \leq z \leq 2l)$:
    \begin{align*}
    M(z) &= -R_1 z + F_{\text{окр}1} (z - l); \\
	M(l) &= -R_1 l = -\dfrac{280}{3} \times 15 = -1400\ \text{Н·мм}. \\
    M(2l) &= -\dfrac{280}{3} \times 30 + 120 \times 15 = -1000\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
    \item \textbf{Третий участок} $(2l \leq z \leq 3l)$:
    \begin{align*}
    M(z) &= -R_1 z + F_{\text{окр}2} (z - 2l) - F_{\text{окр}1} (z - l); \\
	M(2l) &= -\dfrac{280}{3} \times 30 + 120 \times 15 = -1000\ \text{Н·мм}. \\
    M(3l) &= -\dfrac{280}{3} \times 45 + 120 \times 30 + 40 \times 15 = 0\ \text{Н·мм}.
    \end{align*}
\end{enumerate}

\subsection{Определение диаметра вала}

Выбираем для изготовления вала сталь 45Х с параметрами: $\sigma_B = \SI{1050}{\mega\pascal}$, $HB = 250$.

Расчет необходимого диаметра вала проводится по критерию прочности на изгиб:

\[
d_{\text{в}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{M_{\text{пр}}}{0{,}1 \cdot [\sigma]_{и}}},
\]

где приведенный момент $M_{\text{пр}}$ рассчитывается как:

\[
M_{\text{пр}} = \sqrt{M_{\text{изг}}^{\Sigma2} + 0{,}75 M_{\text{кр}}^2}.
\]

Рассчитаем $M_{\text{изг}}^{\Sigma2}$:

\[
M_{\text{изг}}^{\Sigma2} = \sqrt{M_{\text{изг}\Gamma}^2 + M_{\text{изг}В}^2} = \sqrt{1400^2 + 320^2} = 1436{,}1\ \text{Н·мм}.
\]

Тогда приведенный момент:

\[
M_{\text{пр}} = \sqrt{(1436{,}1)^2 + 0{,}75 \cdot 600^2} = 1527{,}2\ \text{Н·мм}.
\]

Допускаемое напряжение:

\[
[\sigma_{н}] = 0{,}3 \cdot \sigma_B = 0{,}3 \cdot 1050 = 315\ \text{МПа}.
\]

Минимальный диаметр по критерию прочности на изгиб:

\[
d_{\text{в}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{1527{,}2}{0{,}1 \cdot 315}} = 3{,}65\ \text{мм} \rightarrow d_{\text{в}} = 4\ \text{мм}.
\]

Для проверки прочности на кручение используем формулу:

\[
d_{\text{в}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{M_{\text{кр}}}{0{,}2 \cdot [\tau]}},
\]

где допускаемое касательное напряжение:

\[
[\tau] = \dfrac{\sigma_B}{k_h}, \quad k_h = 1{,}5.
\]

Подставим значения:

\[
[\tau] = \dfrac{\sigma_B}{k_h} = \dfrac{1050}{1{,}5} = 700\ \text{МПа}.
\]

Минимальный диаметр по критерию прочности на кручение:

\[
d_{\text{в}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{600}{0{,}2 \cdot 700}} = \sqrt[3]{\dfrac{600}{140}} = \sqrt[3]{4{,}29} = 1{,}6\ \text{мм}.
\]

Окончательный диаметр определяется как максимальное значение из расчетов на изгиб и кручение:

\[
d_{\text{в}} \geq \max(4\ \text{мм}, 1{,}6\ \text{мм}) = 4\ \text{мм}.
\]

Таким образом, окончательно выбранный диаметр вала:

\[
d_{\text{в}} = 4\ \text{мм}.
\]

\subsection{Расчёт вала на жёсткость}

Для определения углового отклонения вала используем формулу:

\[
\Delta \varphi_y = 2 \cdot \frac{M_{\text{кр}} \cdot l_{\text{раб}}}{G \cdot J_{\text{пр}}},
\]

где:

\begin{align*}
G &= \frac{E}{2(1 + \nu)} = \frac{\SI{2.1e5}{\text{МПа}}}{2(1 + 0{,}25)} = \SI{0.84e5}{\text{МПа}}, \\
J_{\text{пр}} &= 0{,}1 \cdot d^4 = 0{,}1 \cdot 4^4 = 25{,}6 \, \text{мм}^4.
\end{align*}

Подставляем значения в формулу:

\[
\Delta \varphi_y = 2 \cdot \frac{600 \cdot 15}{0{,}84 \cdot 10^5 \cdot 25{,}6} = 0{,}0084^{\circ} \approx 0^{\circ}0'30''.
\]

Поскольку условие \(\Delta \varphi_y \leq 20'\) выполняется, выбираем диаметр вала:

\[
d = \SI{4}{\text{мм}}.
\]

\subsection{Суммарные реакции в опорах}

\begin{align*}
R_1^{\Sigma} &= \sqrt{\left(R_1^{(\Gamma)}\right)^2 + \left(R_1^{(B)}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{280}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{64}{3}\right)^2} = 95{,}7\ \text{Н}; \\
R_2^{\Sigma} &= \sqrt{\left(R_2^{(\Gamma)}\right)^2 + \left(R_2^{(B)}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{112}{15}\right)^2 + \left(-\dfrac{200}{3}\right)^2} = 67{,}1\ \text{Н}.
\end{align*}

\section{Расчет опор качения}

\subsection{Подбор шарикоподшипников}

Выбираем радиальные однорядные шарикоподшипники типа 0000 (ГОСТ 8338-75*) из лёгкой серии диаметров 2.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{Параметры подшипника}
\begin{tabular}{@{}cccccccc@{}}
\toprule
Обозначение & $d$, мм & $D$, мм & $B$, мм & $r$, мм & $D_w$, мм & $C$, Н & $C_0$, Н \\ \midrule
23          & 3       & 10      & 4       & 0{,}3   & 1{,}588   & 500    & 220      \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

Расчетная динамическая грузоподъемность:

\[
C_p = 0{,}01 \times P \times \sqrt[3]{60 n L_h};
\]

Определяем отношение:

\[
\dfrac{F_{a2}}{C_0} = \dfrac{8{,}5}{220} = 0{,}04;
\]

По таблице находим $e = 0{,}19$. Так как:

\[
\dfrac{F_{a2}}{V R_{\text{max}}^{\Sigma}} = \dfrac{8{,}5}{95{,}7} = 0{,}09 < 0{,}19,
\]

то эквивалентная динамическая нагрузка:

\[
P = R_{\text{max}} \times V \times k_{\sigma} \times k_T,
\]

где $V = 1$, $k_{\sigma} = 1{,}3$, $k_T = 1{,}4$.

\[
P = 95{,}7 \times 1 \times 1{,}3 \times 1{,}4 = 174{,}2\ \text{Н};
\]

\[
C_p = 0{,}01 \times 174{,}2 \times \sqrt[3]{60 \times 1500 \times 1200} = 829{,}6\ \text{Н};
\]

Так как $C_p < C$ ($829{,}6 < 920$), выбранный подшипник подходит.

\subsection{Момент трения в подшипниках}

\[
M_{\text{тр}} = M_0 + \left(1{,}25 R_{\text{max}} + 1{,}5 F_a\right) \times f_k \dfrac{d_0}{D_w};
\]

Коэффициент трения $f_k = 0{,}015$.

\[
M_0 = 0{,}04 d_0;
\]

Средний диаметр:

\[
d_0 = \dfrac{D + d}{2} = \dfrac{13 + 4}{2} = 8{,}5\ \text{мм};
\]

\[
M_0 = 0{,}04 \times 8{,}5 = 0{,}34\ \text{Н·мм};
\]

Диаметр шариков:

\[
D_w = 2{,}381\ \text{мм};
\]

\[
M_{\text{тр}} = 0{,}34 + \left(1{,}25 \times 95{,}7 + 1{,}5 \times 8{,}5\right) \times 0{,}015 \times \dfrac{8{,}5}{2{,}381} = 7{,}4\ \text{Н·мм}.
\]

\section{Расчет опор скольжения}

Для опоры скольжения выбираем материал "Сталь-бронза СЭО" с параметрами: $f = 0{,}1$, $[p] = \SI{25}{\mega\pascal}$, $[pv] = \SI{30}{\mega\pascal}$.

Проверка отношения $\lambda$:

\[
\lambda \leq \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{[\sigma]_{и} \pi}{[p]}} = \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{315 \times \pi}{25}} = 1{,}57 \rightarrow \lambda \approx 1{,}5;
\]

Диаметр цапфы:

\[
d_{\text{ц}} \geq 4 \sqrt{\dfrac{R_{\text{max}} \lambda}{[\sigma]_{и} \pi}} = 4 \sqrt{\dfrac{95{,}7 \times 1{,}5}{315 \pi}} = 1{,}44\ \text{мм} \rightarrow d_{\text{ц}} = \SI{2}{\text{мм}};
\]

Длина цапфы:

\[
l = \lambda d_{\text{ц}} = 1{,}5 \times 2 = \SI{3}{\text{мм}};
\]

Проверка теплостойкости:

\[
l \geq \dfrac{R_{\text{max}} n}{191 [pv]} = \dfrac{95{,}7 \times 1500}{191 \times 20} = \SI{37{,}6}{\text{мм}};
\]

Подобрать подходящую опору скольжения невозможно.

\end{document}