\documentclass[a4paper,12pt]{article} % Пакеты \usepackage[utf8]{inputenc} % Кодировка UTF-8 \usepackage[T2A]{fontenc} % Поддержка русских букв \usepackage[english,russian]{babel} % Русский язык \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm} % Математические пакеты \usepackage{graphicx} % Для вставки изображений \usepackage{geometry} % Настройка полей страницы \usepackage{hyperref} % Гиперссылки \usepackage{float} % Для управления положением объектов \usepackage{caption} % Подписи к рисункам и таблицам \usepackage{booktabs} % Улучшенные таблицы \usepackage{enumitem} % Настройка списков \usepackage{indentfirst} % Отступ после section \usepackage{setspace} \geometry{a4paper, left=30mm, right=15mm, top=20mm, bottom=20mm} \onehalfspacing \setlength{\parindent}{1.25cm} % Отступ абзаца \setlength{\parskip}{0pt} % Расстояние между абзацами \begin{document} \tableofcontents \newpage \section*{Задание на выполнение курсовой работы} \addcontentsline{toc}{section}{Задание на выполнение курсовой работы} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)} \begin{enumerate}[label*=\arabic*.] \item Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки трансформатора эквивалентным источником напряжения. Определить его параметры (ЭДС и внутреннее сопротивление) и значение тока в первичной обмотке трансформатора. В качестве первичной обмотки трансформатора выбрать индуктивность в любой ветви, кроме ветви с идеальным источником тока. \item Записать мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора и построить их волновые диаграммы. \item Определить значения $M_{nq}$, $M_{np}$, $L_q$, $L_p$ ТР из условия, что индуктивность первичной обмотки $L_n$ известна, $U_1 = 5\,\text{В}$, $U_2 = 10\,\text{В}$. Коэффициент магнитной связи обмоток $k$ следует выбрать самостоятельно в диапазоне: $0{,}5 < k < 0{,}95$ ($n$, $p$, $q$ — номера индуктивностей $T_1$). Записать мгновенные значения $u_1(t)$ и $u_2(t)$. \end{enumerate} \item \textbf{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии} \begin{enumerate}[label*=\arabic*.] \item Рассчитать токи и напряжения в схеме четырехполюсника методом входного сопротивления (или входной проводимости). \item Записать мгновенные значения $u_1 = u_3 = u_{\text{вх}}$, $i_{\text{вх}}$ и $u_{\text{вых}}$, определить сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями, а также отношение их действующих значений. \item Определить передаточные функции: \[ W(s) = \frac{U_{\text{вых}}(s)}{U_{\text{вх}}(s)}, \quad W(j\omega) = \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}}. \] \item Определить и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. АЧХ и ФЧХ построить в диапазоне частот от $0$ до $5000\,\text{рад/с}$. Используя частотные характеристики, определить $u_{\text{вых}}$ при заданном $u_{\text{вх}}$. Сравнить этот результат с результатом, полученным в пункте 2.2. \item Построить годограф — линию семейства точек комплексной передаточной функции в диапазоне частот от $0$ до $\infty$ на комплексной плоскости. Указать на годографе точки, соответствующие частотам $0$, $1000\,\text{рад/с}$, $\infty$. \end{enumerate} \item \textbf{Расчет резонансных режимов в электрической цепи} \begin{enumerate}[label*=\arabic*.] \item Включить в схему четырехполюсника реактивное сопротивление (индуктивность или емкость) таким образом, чтобы $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ совпадали по фазе (режим резонанса напряжений). Определить значение параметра реактивного элемента, а также входное сопротивление, входной ток, добротность и ширину полосы пропускания резонансного контура. \end{enumerate} \item \textbf{Расчет переходных процессов классическим методом} \begin{enumerate}[label*=\arabic*.] \item Определить и построить переходные характеристики четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения. Показать связь переходной характеристики для выходного напряжения с передаточной функцией. \item Переключатель $Кл$ перевести в положение $2$ в момент времени, когда входное напряжение $u_3(t) = 0$, $\dfrac{du_3}{dt} > 0$, т.е. в момент начала положительного импульса напряжения $u_4(t)$. Это условие будет выполнено при равенстве аргумента входного напряжения $(\omega t + \psi_{u3}) = 2 k \pi$, где $k = 0, 1, 2, 3$. Рассчитать и построить графики изменения тока $i_{\text{вх}}$ и напряжения $u_{\text{вых}}$ четырехполюсника при подключении его к клеммам с напряжением $u_4(t)$ в момент времени \[ t = \frac{2 k \pi - \psi_{u3}}{\omega} \] с учетом запаса энергии в реактивных элементах схемы от предыдущего режима работы (пункт 2.2): \begin{enumerate}[label=\alph*.] \item На интервале $t \in [0_+, T]$, где $T$ — период изменения напряжения $u_4$; \item С использованием ЭВМ на интервале $t \in [0_+, nT]$, где $n$ — количество периодов, которое определяется длительностью переходного процесса. \end{enumerate} \end{enumerate} \item \textbf{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии} \begin{enumerate}[label*=\arabic*.] \item Рассчитать законы изменения тока $i_{\text{вх}}(t)$ и напряжения $u_{\text{вых}}(t)$ частотным методом, представив напряжение $u_{\text{вх}}(t) = u_4(t)$ в виде ряда Фурье до 5-й гармоники: \[ u_{\text{вх}}(t) = \sum_{\substack{k=1\\k \text{ нечетное}}}^{5} \left( \frac{4 U_m}{k \pi} \right) \sin(k \omega t), \] где $k$ — целое нечетное число. \item Построить графики $u_{\text{вх}}(t) = u_4(t)$, $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ в одном масштабе времени один под другим, где $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$ — суммарные мгновенные значения. \item Определить действующие значения $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ и коэффициенты искажения для $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$. Сравнить графики $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ с соответствующими графиками пункта 4.2.б и сделать выводы. \item Заменить несинусоидальные кривые $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ эквивалентными синусоидами и построить их графики. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \section*{Исходные данные} \addcontentsline{toc}{section}{Исходные данные} \begin{align*} e_1(t) &= 424{,}3 \sin(1000t + 1{,}571)\,\text{В}, \\ J_3(t) &= 6{,}0 \sin(1000t + 2{,}356)\,\text{А}, \\ e_5(t) &= 851{,}6 \sin(1000t + 0{,}951)\,\text{В}, \\ e_6(t) &= 806{,}2 \sin(1000t + 4{,}051)\,\text{В}, \\ L_2 &= 70\,\text{мГн}, \\ R_3 &= 80\,\Omega, \\ R_4 &= 10\,\Omega, \\ C_4 &= 33{,}3\,\mu\text{Ф}, \\ R_5 &= 90\,\Omega, \\ C_5 &= 12{,}5\,\mu\text{Ф}, \\ R_6 &= 50\,\Omega. \end{align*} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.52\textwidth]{images/scheme/left_side.jpg} \caption{Исходная схема цепи} \label{fig:voltage} \end{figure} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{images/scheme/transformations.jpg} \caption{Преобразования исходной цепи} \label{fig:voltage} \end{figure} \section{Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)} \subsection{Представление исходной схемы относительно первичной обмотки трансформатора} Исходная система уравнений в установившемся синусоидальном режиме была сведена к виду: \[ U_{xx} + i_5 Z_5 + i_4 Z_4 = E_5, \] \[ i_5 = J_3, \] \[ Z_4 i_4 + Z_6 i_6 = -E_6 - E_1, \] \[ i_5 - i_4 + i_6 = 0. \] Здесь $Z_4$, $Z_5$, $Z_6$ — импедансы ветвей, $E_1$, $E_5$, $E_6$ — комплексные ЭДС источников, $J_3$ — комплексный источник тока. \noindent \textbf{Определение импедансов:} \[ Z_4 = R_4 + \frac{1}{j \omega C_4} = 10 + \frac{1}{j \cdot 1000 \cdot 33{,}3\times10^{-6}} = 10 - j30{,}03003\,\Omega. \] \[ Z_5 = R_5 + \frac{1}{j \omega C_5} = 90 + \frac{1}{j \cdot 1000 \cdot 12{,}5\times10^{-6}} = 90 - j80\,\Omega. \] \[ Z_6 = R_6 = 50\,\Omega. \] Подставляя найденные значения в систему уравнений и решая ее (численно, методом, представленным в коде Python), получаем: \[ i_4 = 0.9453 + j7.5411\,\text{А}, \quad i_5 = -4.2418 + j4.2435\,\text{А}, \quad i_6 = 5.1871 + j3.2976\,\text{А}. \] Определяем эквивалентное напряжение: \[ U_{xx} = E_5 - Z_5 i_5 - Z_4 i_4 = 301.0432 - j75.0818\,\text{В}. \] Модуль и фаза $U_{xx}$: \[ |U_{xx}| \approx 310.2649\,\text{В}, \quad \varphi(U_{xx}) \approx -0.2444\,\text{рад}. \] Для определения тока в первичной обмотке трансформатора (через $L_2$) находим полный импеданс: \[ Z_{\text{equiv}} = Z_5 + \frac{Z_4 Z_6}{Z_4 + Z_6}, \quad Z_{\text{total}} = Z_{\text{equiv}} + j\omega L_2. \] Тогда: \[ I_{L_2} = \frac{U_{xx}}{Z_{\text{total}}} = 2.8215 + j0.0017\,\text{А}. \] Модуль и фаза $I_{L_2}$: \[ |I_{L_2}| \approx 2.8215\,\text{А}, \quad \varphi(I_{L_2}) \approx 0.0006185\,\text{рад}. \] \subsection{Мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора} Переходим к мгновенным значениям: \[ u_{xx}(t) = |U_{xx}|\sin(\omega t + \varphi(U_{xx})) \approx 310.2649\sin(1000t - 0.2444)\,\text{В}, \] \[ i_{L_2}(t) = |I_{L_2}|\sin(\omega t + \varphi(I_{L_2})) \approx 2.8215\sin(1000t + 0.0006185)\,\text{А}. \] Ниже приведен пример волновых диаграмм тока и напряжения: \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/mgnov_znach.png} \caption{Мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке} \end{figure} \subsection{Определение $M_{nq}$, $M_{np}$, $L_q$, $L_p$ и мгновенных значений $u_1(t)$, $u_2(t)$} Дано: \[ L_n = 10\,\text{мГн}, \quad U_1 = 5\,\text{В}, \quad U_2 = 10\,\text{В}, \quad 0{,}5 < k < 0{,}95. \] Коэффициент трансформации: \[ n = \frac{U_2}{U_1} = \frac{10}{5} = 2. \] Тогда: \[ L_p = L_n n^2 = 0.01 \cdot 4 = 0.04\,\text{Гн}, \quad L_q = L_p = 0.04\,\text{Гн}. \] Взаимная индуктивность: \[ M_{np} = M_{nq} = k\sqrt{L_n L_p} = 0.7\sqrt{0.01 \cdot 0.04} = 0.014\,\text{Гн}. \] Мгновенные напряжения на обмотках трансформатора: \[ u_1(t) = U_1 \sin(\omega t) = 5\sin(1000t)\,\text{В}, \] \[ u_2(t) = U_2 \sin(\omega t) = 10\sin(1000t)\,\text{В}. \] Кроме того, при подаче напряжения $u_1(t)$ на индуктивность $L_n$ ток определяется уравнением: \[ u_1(t) = L_n \frac{di_n(t)}{dt}. \] Подстановка: \[ 5\sin(1000t) = 0.01 \frac{di_n}{dt} \implies \frac{di_n}{dt}=500\sin(1000t). \] Интегрируя при $i_n(0)=0$: \[ i_n(t)=\frac{1-\cos(1000t)}{2}\,\text{А}. \] \subsection{Вывод} По итогам расчета и анализа исходной схемы ИГК относительно первичной обмотки трансформатора был получен эквивалентный источник напряжения с определенной ЭДС $U_{xx}$ и внутренним импедансом, через который протекает ток $I_{L_2}$. Модуль и фаза этих величин установлены численно, что позволило перейти к мгновенным значениям напряжения и тока. Анализ показал, что форма тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора является синусоидальной, причем фаза тока отстает от фазы напряжения незначительно (что соответствует малой индуктивной нагрузке). Сравнение амплитуд подтверждает адекватность выбранных параметров и правильность преобразований схемы. На приведенном графике видна синусоидальная форма тока и напряжения с одинаковой частотой. Ток через первичную обмотку достигает максимума в пределах рассматриваемого временного промежутка и демонстрирует сдвиг фазы относительно напряжения. При этом, амплитудные значения ($\approx 2{,}82\,\text{А}$ для тока и $\approx 310\,\text{В}$ для напряжения) соответствуют рассчитанным величинам из комплексных значений. См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:1.py}. \section{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике} \subsection*{Схема четырехполюсника} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/scheme/4pol.jpg} \caption{Исходная схема четырехполюсника} \label{fig:voltage} \end{figure} \subsection{Расчет токов и напряжений методом входного импеданса} Исходные данные: \[ R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2 = 40\,\Omega,\quad R_3 = 10\,\Omega,\quad C = 200\times10^{-6}\,\text{Ф},\quad \omega = 1000\,\text{рад/с}. \] Входное напряжение: \[ U_{\text{вх}} = 5\,\text{В}, \quad \varphi(U_{\text{вх}}) = -0.2444\,\text{рад}. \] В комплексной форме (действующее значение): \[ \tilde{U}_{\text{вх}} = 5e^{-j0.2444}\,\text{В}. \] Импеданс конденсатора: \[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j\cdot1000\cdot200\times10^{-6}} = \frac{1}{j0.2} = -j5\,\Omega. \] Параллельный участок с $R_2$, $R_3$ и $C$: \[ Z_{||} = \frac{R_2(R_3+Z_C)}{R_2+R_3+Z_C}. \] Подставляем численные значения: \[ R_3+Z_C = 10 - j5,\quad R_2=40. \] \[ R_2+R_3+Z_C = 40+10 - j5 = 50 - j5. \] \[ Z_{||} = \frac{40(10 - j5)}{50 - j5} = 8.3168 - j3.1683\,\Omega. \] Входной импеданс: \[ Z_{\text{вх}} = R_1 + Z_{||} = 10 + (8.3168 - j3.1683) = 18.3168 - j3.1683\,\Omega. \] Входной ток: \[ i_{\text{вх}} = \frac{\tilde{U}_{\text{вх}}}{Z_{\text{вх}}} = \frac{5e^{-j0.2444}}{18.3168 - j3.1683}. \] Численный результат (из программы): \[ i_{\text{вх}} = 0.26826 - j0.01965\,\text{А}. \] Напряжение на параллельной части: \[ U_{||} = i_{\text{вх}}Z_{||} = 2.1688 - j1.0134\,\text{В}. \] Ток через $R_1$: \[ i_1 = \frac{U_{\text{вх}} - U_{||}}{R_1} = \frac{5e^{-j0.2444} - (2.1688 - j1.0134)}{10}. \] Из программы: \[ i_1 = 0.26826 - j0.01965\,\text{А}. \] Токи в параллельной ветви: \[ i_2 = \frac{U_{||}}{R_2} = \frac{2.1688 - j1.0134}{40} = 0.05422 - j0.02533\,\text{А}. \] \[ i_3 = \frac{U_{||}}{R_3+Z_C} = \frac{2.1688 - j1.0134}{10 - j5} = 0.21404 + j0.00568\,\text{А}. \] \subsection{Мгновенные значения, фазовые соотношения, отношение действующих значений} Выходное напряжение: \[ U_{\text{вых}} = i_3(R_3 + Z_C) = 2.1688 - j1.0134\,\text{В}. \] Модуль и фаза: \[ |U_{\text{вых}}| = 2.3939\,\text{В}, \quad \varphi(U_{\text{вых}}) = -0.4371\,\text{рад}. \] Отношение амплитуд действующих значений: \[ \frac{|U_{\text{вых}}|}{|U_{\text{вх}}|} = 0.4788. \] Сдвиг фаз между $U_{\text{вых}}$ и $U_{\text{вх}}$: \[ \Delta\varphi = \varphi(U_{\text{вых}})-\varphi(U_{\text{вх}}) = -0.4371 - (-0.2444) = -0.1927\,\text{рад}. \] Мгновенные значения при $\omega=1000\,\text{рад/с}$: \[ u_{\text{вх}}(t) = \sqrt{2}\cdot5\sin(1000t -0.2444),\quad u_{\text{вых}}(t) = \sqrt{2}\cdot2.3939\sin(1000t -0.4371). \] \subsection{Передаточные функции} Передаточная функция: \[ W(s) = \frac{U_{\text{вых}}(s)}{U_{\text{вх}}(s)}. \] При $s=j\omega$: \[ W(j\omega)=\frac{U_{\text{вых}}(j\omega)}{U_{\text{вх}}(j\omega)}. \] Из программы: \[ W(j0.001) \approx 0.8,\quad W(j1000) \approx 0.47 - j0.09,\quad W(j\infty) \approx 0.4444. \] \subsection{АЧХ и ФЧХ} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.65\textwidth]{images/achx.png} \caption{Амплитудно-частотная характеристика} \end{figure} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.65\textwidth]{images/fchx.png} \caption{Фазо-частотная характеристика} \end{figure} Рассчитанная АЧХ показывает убывание амплитуды выходного напряжения по мере увеличения частоты от 0 до 5000\,\text{рад/с}, а ФЧХ демонстрирует фазовый сдвиг, достигающий минимума около некоторой частоты и затем уменьшающийся по модулю при дальнейшем росте частоты. По АЧХ при $\omega=1000\,\text{рад/с}$ можно определить $|U_{\text{вых}}|$, что совпадает с результатом, полученным напрямую из расчета в пункте 2.2. \subsection{Годограф передаточной функции} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/godograf_polar.png} \caption{Годограф в полярной системе координат} \end{figure} Годограф передаточной функции $W(j\omega)$ указывает, как меняется расположение точки $W(j\omega)$ при изменении $\omega$ от 0 до $\infty$. На графике отмечены характерные точки при $\omega=0$, $1000\,\text{рад/с}$ и $\infty$. \subsection{Вывод} Рассчитаны напряжения и токи методом входного импеданса. Получены мгновенные значения входного и выходного напряжений, их фазовые соотношения и отношение амплитуд. Определена передаточная функция, построены амплитудно- и фазочастотные характеристики, а также годограф. Результаты подтверждают снижение амплитуды выходного сигнала по мере увеличения частоты и соответствуют значениям, определенным непосредственным расчетом. См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:2.py}. \section{Расчет резонансных режимов в электрической цепи} \subsection{Определение параметров резонанса напряжений} Дано: \[ R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2 = 40\,\Omega,\quad R_3 = 10\,\Omega,\quad C=200\times10^{-6}\,\text{Ф},\quad \omega=1000\,\text{рад/с}. \] Входное напряжение: \[ U_{\text{вх}}^{rms}=5\,\text{В},\quad \varphi(U_{\text{вх}})=-0.2444\,\text{рад}. \] В комплексной форме: \[ \tilde{U}_{\text{вх}} = 5e^{-j0.2444}\,\text{В}. \] Импеданс конденсатора: \[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j5\,\Omega. \] Эквивалентный импеданс без дополнительной индуктивности: \[ Z_{||} = \frac{R_2(R_3+Z_C)}{R_2+R_3+Z_C}, \quad R_3+Z_C = 10 - j5. \] \[ R_2 + R_3 + Z_C = 40 + 10 - j5 = 50 - j5. \] \[ Z_{||} = \frac{40(10 - j5)}{50 - j5} = 8.3168 - j3.1683\,\Omega. \] Входной импеданс: \[ Z_{\text{вх}} = R_1 + Z_{||} = 10 + (8.3168 - j3.1683) = 18.3168 - j3.1683\,\Omega. \] Как видно, мнимая часть $Z_{\text{вх}}$ отрицательна, следовательно, для достижения резонанса напряжений (когда $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ совпадают по фазе) необходимо ввести индуктивность $L$, компенсирующую мнимую часть. Требование резонанса: \[ \Im(Z_{\text{вх}} + j\omega L) = 0 \implies -3.1683 + \omega L = 0. \] Отсюда: \[ L = \frac{3.1683}{1000} = 0.0031683\,\text{Гн} \approx 0.003168\,\text{Гн}. \] При добавлении индуктивности $L$: \[ Z_L = j\omega L = j(1000 \cdot 0.003168) = j3.1683\,\Omega. \] Новый входной импеданс: \[ Z_{\text{total}} = Z_{\text{вх}} + Z_L = (18.3168 - j3.1683) + j3.1683 = 18.3168 + j0\,\Omega. \] Таким образом, при резонансе входной импеданс чисто активный: \[ Z_{\text{total}} = 18.32\,\Omega. \] Входной ток: \[ i_{\text{вх}} = \frac{\tilde{U}_{\text{вх}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{5e^{-j0.2444}}{18.3168} = 0.273\,e^{-j0.2444}\,\text{А} \approx 0.2649 - j0.0661\,\text{А}. \] Практически, угол между $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ близок к нулю (разница очень мала и обусловлена численными округлениями). \subsection*{Добротность и полоса пропускания резонансного контура} При резонансе: \[ R_{\text{total}} = 18.32\,\Omega,\quad L = 0.003168\,\text{Гн}. \] Добротность: \[ Q = \frac{\omega L}{R_{\text{total}}} = \frac{1000 \cdot 0.003168}{18.32} \approx 0.17. \] Ширина полосы пропускания (по определению для резонансных контуров): \[ \Delta\omega = \frac{R_{\text{total}}}{L} = \frac{18.32}{0.003168} \approx 5781.25\,\text{рад/с}. \] \subsection{Вывод} В схему введена индуктивность $L \approx 3.168\,\text{мГн}$, благодаря чему на частоте $\omega=1000\,\text{рад/с}$ реактивности взаимно компенсировались, и входное напряжение стало совпадать по фазе с входным током. Входное сопротивление в резонансе чисто активное и равно $18.32\,\Omega$. Добротность контура невелика ($Q \approx 0.17$), ширина полосы пропускания достаточно большая ($\Delta\omega \approx 5781\,\text{рад/с}$). Это означает, что резонанс выражен слабо и контур имеет сравнительно пологую частотную характеристику. См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:3.py}. \section{Расчет переходных процессов классическим методом} \subsection{Расчет переходных процессов классическим методом} На вход четырехполюсника подается единичный скачок напряжения (с 0 до 1 В) в момент времени \(t=0\): \[ u_{\text{вх}}(t)=u(t), \] где \(u(t)\) — функция Хевисайда. \subsubsection*{Определение установившегося режима} При \(t \to \infty\) конденсатор переходит в состояние постоянного заряда, и ток через него равен нулю. Тогда цепь фактически сводится к последовательному соединению \(R_1\) и \(R_2\) (ветвь с \(R_3\) и \(C\) не пропускает постоянный ток). При единичном постоянном входном напряжении: \[ i_{\text{вх},\infty}=\frac{1\,\text{В}}{R_1+R_2}=\frac{1}{10+40}=\frac{1}{50}=0.02\,\text{А}. \] Падение напряжения на \(R_1=10\,\Omega\): \[ U_{R_1,\infty}=i_{\text{вх},\infty}\cdot R_1=0.02\cdot10=0.2\,\text{В}. \] Напряжение в точке между \(R_1\) и \(R_2\): \[ u_{\text{вых},\infty}=1\,\text{В}-0.2\,\text{В}=0.8\,\text{В}. \] Итак, при \(t\to\infty\): \[ i_{\text{вх},\infty}=0.02\,\text{А},\quad u_{\text{вых},\infty}=0.8\,\text{В}. \] \subsubsection*{Форма переходных характеристик} Решение дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в данной цепи, с использованием метода преобразования Лапласа дает следующее уравнение для напряжения на конденсаторе \(U_C(t)\): \[ U_C(t) = U_{C,\infty} + A e^{p t}, \] где \(U_{C,\infty}\) — установившееся значение напряжения, \(A\) — константа, зависящая от начальных условий, а \(p\) — корень характеристического уравнения системы. \textbf{Характеристическое уравнение}: \[ p = -\frac{R_1 + R_2}{C \cdot (R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3)} = -277.78\,\text{с}^{-1}. \] Подставляя значения в общее решение и применяя начальные условия \(t=0\), получаем: \[ U_C(0) = 0 = U_{C,\infty} + A \implies A = -U_{C,\infty}. \] Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид: \[ U_C(t) = U_{C,\infty} (1 - e^{p t}). \] Ток через конденсатор: \[ i_C(t) = C \frac{dU_C(t)}{dt} = -C \cdot U_{C,\infty} \cdot p e^{p t}. \] Входной ток и выходное напряжение: \[ i_{\text{вх}}(t) = i_C(t) + \frac{U_{\text{вых}}(t)}{R_2}, \quad u_{\text{вых}}(t) = U_C(t) + R_3 i_C(t). \] Подставляя численные значения: \[ i_{\text{вх}}(t) = 0.02 - 0.0755 e^{-277.78 t}, \quad u_{\text{вых}}(t) = 0.8 - 1.2444 e^{-277.78 t}. \] \subsubsection*{Импульсные характеристики} Импульсные характеристики определяются как производные от переходных характеристик: \[ k_i(t) = \frac{d h_i(t)}{dt} = 0.0755 e^{-277.78 t}, \quad k_u(t) = \frac{d h_u(t)}{dt} = 1.2444 e^{-277.78 t}. \] \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/h_i_h_u.png} \caption{Переходные характеристики $h_i(t)$ и $h_u(t)$} \label{fig:h_i_h_u} \end{figure} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/k_i_k_u.png} \caption{Импульсные характеристики $k_i(t)$ и $k_u(t)$} \label{fig:k_i_k_u} \end{figure} Эти результаты подтверждают, что система выходит на установившееся состояние с экспоненциальным затуханием, а импульсные характеристики дают прямую связь с передаточной функцией системы. См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:4_1.py}. \subsection{Исследование переходного процесса при переключении} Цель данного этапа — определить переходные и импульсные характеристики четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения при единичном скачке входного напряжения. Также необходимо проанализировать связь переходной характеристики для выходного напряжения с передаточной функцией. \subsubsection*{Исходные данные и постановка задачи} Рассматриваем четырехполюсник с параметрами: \[ R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2=40\,\Omega,\quad R_3=10\,\Omega,\quad C=200\times10^{-6}\,\text{Ф}. \] На вход четырехполюсника подается единичный скачок напряжения (с 0 до 1 В) в момент времени \(t=0\): \[ u_{\text{вх}}(t)=u(t), \] где \(u(t)\) — функция Хевисайда. Задача: - Определить переходные характеристики для входного тока и выходного напряжения, нормированные на 1 В входного шага: \[ h_i(t)=\frac{i_{\text{вх}}(t)}{u_{\text{вх}}},\quad h_u(t)=\frac{u_{\text{вых}}(t)}{u_{\text{вх}}}. \] При \(u_{\text{вх}}=1\,\text{В}\), фактически \(h_i(t)=i_{\text{вх}}(t)\) и \(h_u(t)=u_{\text{вых}}(t)\). - По переходным характеристикам получить импульсные характеристики: \[ k_i(t)=\frac{d h_i(t)}{dt},\quad k_u(t)=\frac{d h_u(t)}{dt}. \] \subsubsection*{Расчет во временной области при воздействии периодического сигнала} На вход цепи подается периодический прямоугольный сигнал с амплитудой \(U_0 = 10\,\text{В}\) и частотой \(\omega = 1000\,\text{рад/с}\). Рассчитаем изменения напряжения на конденсаторе, выходного напряжения и входного тока за несколько периодов. \paragraph{Параметры расчета.} Период входного сигнала: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1000} = 0.00628\,\text{с}. \] Постоянная времени цепи определяется как: \[ \tau = C \cdot \left(\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3\right). \] Подставляя численные значения: \[ \tau = 200\times10^{-6} \cdot \left(\frac{10 \cdot 40}{10 + 40} + 10\right) = 0.0024\,\text{с}. \] \paragraph{Алгоритм расчета.} Для анализа будем использовать численный метод с временным шагом \(dt\). Рассмотрим полупериоды сигнала: 1. \(t_0 = \frac{\pi}{\omega}\) — начальное время, когда на входе сигнал изменяется. 2. В каждом полупериоде пересчитываются: - Установившееся напряжение на конденсаторе: \[ U_{C_{\text{уст}}} = U_{\text{вх}} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}. \] - Временная константа \(\tau\) и коэффициент затухания \(p = -\frac{1}{\tau}\). - Переходный процесс определяется как: \[ U_C(t) = U_{C_{\text{уст}}} + A e^{p (t - t_0)},\quad A = U_{C_{\text{пред}}} - U_{C_{\text{уст}}}. \] - Ток через конденсатор: \[ i_3(t) = C \frac{d U_C(t)}{dt} = C A p e^{p (t - t_0)}. \] - Выходное напряжение: \[ U_{\text{вых}}(t) = U_C(t) + R_3 i_3(t). \] - Входной ток: \[ i_{\text{вх}}(t) = i_3(t) + \frac{U_{\text{вых}}(t)}{R_2}. \] \paragraph{Результаты.} Выполним расчет за несколько полупериодов, используя программный код Python. Графики изменения \(U_C(t)\), \(U_{\text{вых}}(t)\) и \(i_{\text{вх}}(t)\) представлены на рисунках. \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/4_2.png} \caption{Изменение напряжения на конденсаторе, выходного напряжения и входного тока} \label{fig:4_2_results} \end{figure} См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:4_2.py}. \subsection{Вывод} На графиках видно, что в каждом полупериоде входного сигнала переходные процессы экспоненциально затухают с постоянной времени \(\tau\). При этом выходное напряжение и входной ток достигают установившихся значений, зависящих от параметров цепи и входного сигнала. \section{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии} \subsection{Законы изменения тока $i_{\text{вх}}(t)$ и напряжения $u_{\text{вых}}(t)$} Входное напряжение $u_{\text{вх}}(t)$ представлено в виде ряда Фурье до 5-й гармоники: \[ u_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} \frac{4 U_m}{k \pi} \sin(k \omega t), \] где $U_m = 10 \text{ В}$, $\omega = 1000 \text{ рад/с}$. Для каждой гармоники: 1. \textbf{Амплитуда $U_{k\text{вх}}$}: \[ U_{k\text{вх}} = \frac{4 U_m}{k \pi}. \] 2. \textbf{Комплексный импеданс для цепи}: \[ Z_C = \frac{1}{j \omega_k C}, \quad Z_{R3C} = R_3 + Z_C, \quad Z_{\text{паралл}} = \frac{R_2 Z_{R3C}}{R_2 + Z_{R3C}}, \quad Z_{\text{итого}} = R_1 + Z_{\text{паралл}}. \] 3. \textbf{Комплексный ток гармоники}: \[ I_{k\text{вх}} = \frac{U_{k\text{вх}}}{Z_{\text{итого}}}. \] 4. \textbf{Выходное напряжение гармоники} определяется через передаточную функцию $W(\omega_k)$: \[ W(\omega_k) = \frac{Z_{\text{паралл}}}{Z_{\text{итого}}}, \quad U_{k\text{вых}} = W(\omega_k) \cdot U_{k\text{вх}}. \] 5. \textbf{Мгновенные значения} для каждой гармоники: \[ i_{\text{вх},k}(t) = |I_{k \text{вх}}| \sin(\omega_k t + \angle I_{k \text{вх}}), \quad u_{\text{вых},k}(t) = |U_{k \text{вых}}| \sin(\omega_k t + \angle U_{k \text{вых}}). \] Суммируя гармоники, находим суммарные мгновенные значения: \[ u_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} U_{k\text{вх}} \sin(\omega_k t), \quad i_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} i_{\text{вх},k}(t), \quad u_{\text{вых}}(t) = \sum_{k=1,3,5} u_{\text{вых},k}(t). \] \subsection{Построение графиков $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$} На графиках ниже представлены мгновенные значения сигналов $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$ в одном масштабе времени: \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/5_2.png} \caption{Графики $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$} \label{fig:5_2_signals} \end{figure} \subsection{Действующие значения и коэффициенты искажений} 1. \textbf{Действующие значения}: \[ U_{\text{вх}} = \sqrt{ \frac{U_{1\text{вх}}^2 + U_{3\text{вх}}^2 + U_{5\text{вх}}^2}{2} }, \] \[ I_{\text{вх}} = \sqrt{ \frac{|I_{1\text{вх}}|^2 + |I_{3\text{вх}}|^2 + |I_{5\text{вх}}|^2}{2} }, \] \[ U_{\text{вых}} = \sqrt{ \frac{U_{1\text{вых}}^2 + U_{3\text{вых}}^2 + U_{5\text{вых}}^2}{2} }. \] 2. \textbf{Коэффициенты искажений} для токов и напряжений: \[ K_{U_{\text{вх}}} = \frac{U_{1\text{вх}}}{U_{\text{вх}}}, \quad K_{I_{\text{вх}}} = \frac{|I_{1\text{вх}}|}{I_{\text{вх}}}, \quad K_{U_{\text{вых}}} = \frac{U_{1\text{вых}}}{U_{\text{вых}}}. \] Сравнивая результаты с графиками из пункта 4.2.б, можно сделать вывод, что наличие высших гармоник приводит к значительным искажениям формы тока и выходного напряжения. \subsection{Замена несинусоидальных кривых эквивалентными синусоидами} Несинусоидальные сигналы заменим эквивалентными синусоидами, соответствующими первой гармонике: \[ u_{\text{вх, экв}}(t) = U_{1\text{вх}} \sin(\omega t), \quad i_{\text{вх, экв}}(t) = |I_{1\text{вх}}| \sin(\omega t + \phi), \quad u_{\text{вых, экв}}(t) = |U_{1\text{вых}}| \sin(\omega t + \phi). \] На рисунке представлено сравнение исходных несинусоидальных сигналов с их эквивалентами: \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/5_4.png} \caption{Сравнение несинусоидальных сигналов и их эквивалентных синусоид} \label{fig:5_4_signals} \end{figure} \subsection{Выводы} Совпадение графиков $i_{вх}(t)$ и $u_{вых}(t)$ в пунктах 4.2 и 5.2 связано с доминированием первой гармоники во входном сигнале. Высшие гармоники присутствуют, но их влияние недостаточно велико, чтобы внести существенные искажения в форму сигналов. Следовательно, визуально форма тока и выходного напряжения остается практически идентичной результатам для синусоидального воздействия из пункта 4.2. См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:5.py}. \section{Приложение} \appendix \section{Код выполнения пункта 1} \label{app:1.py} \begin{verbatim} import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R3 = 80 # Ом R4 = 10 # Ом R5 = 90 # Ом R6 = 50 # Ом C4 = 33.3e-6 # Ф C5 = 12.5e-6 # Ф L2 = 70e-3 # Гн omega = 1000 # рад/с t = sp.Symbol('t', real=True) E1_magnitude = 424.3 E1_phase = 1.571 # радиан E1 = E1_magnitude * sp.exp(sp.I * E1_phase) E5_magnitude = 851.6 E5_phase = 0.951 # радиан E5 = E5_magnitude * sp.exp(sp.I * E5_phase) E6_magnitude = 806.2 E6_phase = 4.051 # радиан E6 = E6_magnitude * sp.exp(sp.I * E6_phase) J3_magnitude = 6.0 J3_phase = 2.356 # радиан J3 = J3_magnitude * sp.exp(sp.I * J3_phase) Z_C4 = -sp.I / (omega * C4) Z_C5 = -sp.I / (omega * C5) Z_L2 = sp.I * omega * L2 Z4 = R4 + Z_C4 Z5 = R5 + Z_C5 Z6 = R6 print("Импедансы:") print(f"Z4 = {Z4.evalf()}") print(f"Z5 = {Z5.evalf()}") print(f"Z6 = {Z6}") Z4_plus_Z6 = Z4 + Z6 Z4_times_Z6 = Z4 * Z6 Z46 = Z4_times_Z6 / Z4_plus_Z6 Z_equiv = Z46 + Z5 i4, i5, i6 = sp.symbols('i4 i5 i6', complex=True) eq1 = sp.Eq(i5, J3) eq2 = sp.Eq((Z4 + Z6)*i4 - Z6*i5, -E1 - E6) eq3 = sp.Eq(i6, i4 - i5) solutions = sp.solve([eq1, eq2, eq3], (i4, i5, i6)) print("\nТоки в узлах:") print(f"i4 = {solutions[i4].evalf()}") print(f"i5 = {solutions[i5].evalf()}") print(f"i6 = {solutions[i6].evalf()}") Uxx = E5 - Z5 * solutions[i5] - Z4 * solutions[i4] print("\nКомплексное напряжение Uxx:") print(f"Uxx = {Uxx.evalf()}") Z_total = Z_equiv + Z_L2 I_L2 = Uxx / Z_total print("\nТок через L2 в комплексной форме:") print(f"I_L2 = {I_L2.evalf()}") I_L2_magnitude = sp.Abs(I_L2) I_L2_phase = sp.arg(I_L2) Uxx_magnitude = sp.Abs(Uxx) Uxx_phase = sp.arg(Uxx) print("\nАмплитудно-фазовые значения:") print(f"|Uxx| = {Uxx_magnitude.evalf()} В") print(f"φ(Uxx) = {Uxx_phase.evalf()} рад") print(f"|I_L2| = {I_L2_magnitude.evalf()} А") print(f"φ(I_L_2) = {I_L2_phase.evalf()} рад") I_L2_time = I_L2_magnitude*sp.sin(omega*t + I_L2_phase) Uxx_time = Uxx_magnitude*sp.sin(omega*t + Uxx_phase) I_L2_time_func = sp.lambdify(t, I_L2_time, 'numpy') Uxx_time_func = sp.lambdify(t, Uxx_time, 'numpy') time = np.linspace(0, 0.01, 1000) I_L2_values = I_L2_time_func(time) Uxx_values = Uxx_time_func(time) plt.figure(figsize=(14, 8)) plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(time, I_L2_values, label='I_L2(t)', color='blue') plt.xlabel('Время (с)') plt.ylabel('Ток (А)') plt.title('Мгновенное значение тока в первичной обмотке трансформатора') plt.grid(True) plt.legend() plt.subplot(2, 1, 2) plt.plot(time, Uxx_values, label='Uxx(t)', color='red') plt.xlabel('Время (с)') plt.ylabel('Напряжение (В)') plt.title('Мгновенное значение напряжения в первичной обмотке трансформатора') plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/mgnov_znach.png', dpi=300) plt.close() # Пункт 1.3 расчет параметров трансформатора U1 = 5.0 # В U2 = 10.0 # В k = 0.7 # Коэффициент магнитной связи L_n = 10e-3 # Гн turns_ratio = U2 / U1 L_p = L_n * turns_ratio**2 L_q = L_p M_np = k * sp.sqrt(L_n*L_p) M_nq = M_np print("\nПараметры трансформатора:") print(f"L_p = {L_p} Гн") print(f"L_q = {L_q} Гн") print(f"M_np = M_nq = {M_np} Гн") u1 = U1 * sp.sin(omega * t) u2 = U2 * sp.sin(omega * t) i_n_expr = sp.integrate(u1/L_n, (t, 0, t)) i_n_expr_simpl = sp.simplify(i_n_expr) print("\nТок в первичной обмотке:") sp.pprint(i_n_expr_simpl) \end{verbatim} \section{Код выполнения пункта 2} \label{app:2.py} \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R1 = 10 R2 = 40 R3 = 10 C_value = 200e-6 # Ф w = 1000 # угловая частота для мгновенных значений, рад/с Uent_rms = 5.0 Uent_phase = -0.2444 # радиан Uent = Uent_rms * np.exp(1j * Uent_phase) Z_C = 1/(1j * w * C_value) ZII = (R2*(R3+Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C) Zent = R1 + ZII ient = Uent / Zent UII = ient * ZII i1 = (Uent - UII) / R1 i2 = UII / R2 i3 = UII / (R3 + Z_C) Uexit = i3 * (R3 + Z_C) abs_Uent = np.abs(Uent) abs_Uexit = np.abs(Uexit) rel = abs_Uexit / abs_Uent relang = np.angle(Uexit) - np.angle(Uent) print("Исходные данные:") print(f"R1 = {R1} Ом, R2 = {R2} Ом, R3 = {R3} Ом, C = {C_value} Ф") print(f"w = {w} рад/с") print(f"U_вх(rms) = {Uent_rms} В, фаза(U_вх) = {Uent_phase} рад") print("\nРассчитанные импедансы и токи:") print(f"Z_C = {Z_C} Ом") print(f"Z_II = {ZII} Ом") print(f"Z_вх = Z_ent = {Zent} Ом") print(f"i_вх = i_ent = {ient} А") print(f"UII = {UII} В") print(f"i_1 = {i1} А") print(f"i_2 = {i2} А") print(f"i_3 = {i3} А") print("\nВыходное напряжение:") print(f"U_вых = {Uexit} В") print(f"|U_вых| = {abs_Uexit} В, фаза(U_вых) = {np.angle(Uexit)} рад") print("\nОтношение амплитуд:") print(f"|U_вых|/|U_вх| = {rel}") print(f"Сдвиг фаз между выходным и входным напряжениями: {relang} рад") T = 2 * np.pi / w tt = np.linspace(0, 2*T, 1000) uent_time = Uent_rms*np.sqrt(2)*np.sin(w*tt + np.angle(Uent)) uexit_time = abs_Uexit*np.sqrt(2)*np.sin(w*tt + np.angle(Uexit)) plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(tt, uent_time, label="Входное напряжение $u_{вх}(t)$") plt.plot(tt, uexit_time, label="Выходное напряжение $u_{вых}(t)$") plt.xlabel("Время $t$, с") plt.ylabel("Напряжение, В") plt.title("Временные диаграммы входного и выходного напряжений") plt.legend() plt.grid(True) plt.savefig('images/vrem_diagrams.png', dpi=300) plt.close() def W(s): ZC = 1/(s*C_value) ZII = (R2*(R3+ZC))/(R2+R3+ZC) Zent = R1 + ZII return ZII/Zent www = np.linspace(0.1, 5000, 500) # частоты от 0.1 до 5000 рад/с Ww = np.array([W(1j*om) for om in www]) Aw = np.abs(Ww) Fw = np.angle(Ww) # АЧХ plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(www, Aw, label="АЧХ") plt.xlabel("Частота, рад/с") plt.ylabel("Амплитуда") plt.title("Амплитудно-частотная характеристика") plt.grid(True) plt.legend() plt.savefig('images/achx.png', dpi=300) plt.close() # ФЧХ plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(www, Fw, label="ФЧХ") plt.xlabel("Частота, рад/с") plt.ylabel("Фаза, рад") plt.title("Фазово-частотная характеристика") plt.grid(True) plt.legend() plt.savefig('images/fchx.png', dpi=300) plt.close() # Вычисление специальных точек для годографа w0 = 0.001 # Приближение к нулевой частоте W0 = W(1j*w0) W1000 = W(1j*w) # ω=1000 рад/с Winf = W(1j*1e6) # Приближение для очень большой частоты (ω→∞) print("\nСпециальные точки передаточной функции:") print(f"W(j0) ≈ W(j{w0}) = {W0}") print(f"W(j1000) = {W1000}") print(f"W(j∞) ≈ W(j1e6) = {Winf}") w0 = 0.001 # Приближение к нулевой частоте W0 = W(1j*w0) W1000 = W(1j*w) # ω=1000 рад/с Winf = W(1j*1e6) # Приближение для очень большой частоты (ω→∞) print("\nСпециальные точки передаточной функции:") print(f"W(j0) ≈ W(j{w0}) = {W0}") print(f"W(j1000) = {W1000}") print(f"W(j∞) ≈ W(j1e6) = {Winf}") A0, F0 = np.abs(W0), np.angle(W0) A1000, F1000 = np.abs(W1000), np.angle(W1000) Ainf, Finf = np.abs(Winf), np.angle(Winf) # Годограф plt.figure(figsize=(8,8)) ax = plt.subplot(111, projection='polar') angles = np.angle(Ww) magnitudes = np.abs(Ww) ax.plot(angles, magnitudes, label="Годограф $W(j\omega)$") # Отметка специальных точек ax.plot(np.angle(W0), np.abs(W0), 'ro', label=f'ω=0 рад/с') ax.plot(np.angle(W1000), np.abs(W1000), 'go', label=f'ω={w} рад/с') W_large = W(1j*1e6) ax.plot(np.angle(W_large), np.abs(W_large), 'bo', label='ω→∞') ax.set_title("Годограф передаточной функции $W(j\omega)$", va='bottom') ax.legend(loc='upper right') plt.savefig('images/godograf_polar.png', dpi=300) plt.close() \end{verbatim} \section{Код выполнения пункта 3} \label{app:3.py} \begin{verbatim} import numpy as np R1 = 10 R2 = 40 R3 = 10 w = 1000 # угловая частота, рад/с C_value = 200e-6 # Емкость, Ф Z_C = 1/(1j * w * C_value) # Импеданс конденсатора Uent = 5 * np.exp(1j * -0.2444) ZII = (R2 * (R3 + Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C) Zent = R1 + ZII print(f"Эквивалентный входной импеданс без индуктивности: Zent = {Zent:.2f} Ω") Im_Zent = Zent.imag L = -Im_Zent / w print(f"Необходимая индуктивность для резонанса: L = {L:.6f} Гн") ZL = 1j * w * L Z_total = Zent + ZL print(f"Общий входной импеданс при резонансе: Z_total = {Z_total.real:.2f}+{Z_total.imag:.2f}j Ω") print(f"Мнимая часть Z_total: {Z_total.imag:.4f} Ω (должна быть ≈ 0)") ient_resonance = Uent / Z_total print(f"Входной ток при резонансе: i_ent = {ient_resonance:.4f} A") R_total = Z_total.real print(f"Входное сопротивление при резонансе: R_total = {R_total:.2f} Ω") Q = (w * L) / R_total print(f"Добротность резонанса Q: {Q:.2f}") Bandwidth = R_total / L print(f"Ширина полосы пропускания Δω: {Bandwidth:.2f} рад/с") \end{verbatim} \section{Код выполнения подпункта 4.1} \label{app:4_1.py} \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R1 = 10 # Ом R2 = 40 # Ом R3 = 10 # Ом C = 200e-6 # Ф U0 = 5 # В U_c_vyn = 4 # В p = -277.78 # с^-1 t = np.linspace(-0.01, 0.02, 1000) # от -10 мс до 20 мс # Функция Хевисайда h = np.heaviside(t, 0) # Переходные характеристики h_i = (0.02 - 0.0755 * np.exp(p * t)) * h h_u = (0.8 - 1.2444 * np.exp(p * t)) * h dh_i_dt = 0.0755 * p * np.exp(p * t) * h dh_u_dt = 1.2444 * p * np.exp(p * t) * h plt.figure(figsize=(14, 8)) plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(t, h_i, label='Переходная характеристика $h_i(t)$') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$h_i(t)$, А/В') plt.title('Переходная характеристика для входного тока') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(True) plt.legend() plt.subplot(2, 1, 2) plt.plot(t, h_u, label='Переходная характеристика $h_u(t)$', color='red') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$h_u(t)$, В/В') plt.title('Переходная характеристика для выходного напряжения') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/h_i_h_u.png', dpi=300) plt.figure(figsize=(14, 8)) plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(t, dh_i_dt, label='Импульсная характеристика $k_i(t)$') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$k_i(t)$, А/(В·с)') plt.title('Импульсная характеристика для входного тока') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(True) plt.legend() plt.subplot(2, 1, 2) plt.plot(t, dh_u_dt, label='Импульсная характеристика $k_u(t)$', color='red') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$k_u(t)$, В/(В·с)') plt.title('Импульсная характеристика для выходного напряжения') plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/k_i_k_u.png', dpi=300) \end{verbatim} \section{Код выполнения подпункта 4.2} \label{app:4_2.py} \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R1 = 10 # Ом R2 = 40 # Ом R3 = 10 # Ом C = 200e-6 # Ф U0 = 10 # В omega = 1000 # рад/с T = 2 * np.pi / omega tau = C * (R1 * R2 + R1 * R3 + R2 * R3) / (R1 + R2) # Постоянная времени t0 = np.pi / omega # Начинаем с k=1 n_periods = round((3 * tau)/(2 * np.pi / omega)) t_total = [] u_vyh_total = [] i_vh_total = [] u_C_total = [] u_C_prev = 7 # Напряжение на конденсаторе в момент t0 t_prev = t0 for n in range(n_periods * 2): t_start = t_prev t_end = t_prev + T/2 t = np.linspace(t_start, t_end, 1000) if n % 2 == 0: U_vh = U0 else: U_vh = -U0 u_C_ust = U_vh * R2 / (R1 + R2) R_eq = (R1 * R2) / (R1 + R2) +R3 tau = C * R_eq p = -1 / tau A = u_C_prev - u_C_ust u_C = u_C_ust + A * np.exp(p * (t - t_start)) i_3 = C * A * p * np.exp(p * (t - t_start)) u_vyh = u_C + R3 * i_3 i_vh = i_3 + u_vyh / R2 t_total.extend(t) u_vyh_total.extend(u_vyh) i_vh_total.extend(i_vh) u_C_total.extend(u_C) print(f"\nИнтервал {n + 1}:") print(f" Время от {t_start:.6f} с до {t_end:.6f} с") print(f" Входное напряжение U_vh = {U_vh} В") print(f" Установившееся напряжение на конденсаторе u_C_ust = {u_C_ust:.4f} В") print(f" Коэффициент A = {A:.4f} В") print(f" Напряжение на конденсаторе u_C_end = {u_C[-1]:.4f} В") print(f" Ток через конденсатор в начале интервала i_3_start = {i_3[0]:.6f} А") print(f" Входной ток в начале интервала i_vh_start = {i_vh[0]:.6f} А") u_C_prev = u_C[-1] t_prev = t_end t_total = np.array(t_total) u_vyh_total = np.array(u_vyh_total) i_vh_total = np.array(i_vh_total) plt.figure(figsize=(14, 8)) plt.subplot(3, 1, 1) plt.plot(t_total, u_C_total, label='Напряжение на $U_{c}(t)$') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$U_{c}(t)$, В') plt.title('Изменение напряжения на конденсаторе за {} пп'.format(n_periods)) plt.grid(True) plt.legend() plt.subplot(3, 1, 2) plt.plot(t_total, i_vh_total, label='Входной ток $i_{вх}(t)$') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$i_{вх}(t)$, А') plt.title('Изменение входного тока за {} полупериодов'.format(n_periods)) plt.grid(True) plt.legend() plt.subplot(3, 1, 3) plt.plot(t_total, u_vyh_total, label='$u_{вых}(t)$', color='red') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('$u_{вых}(t)$, В') plt.title('Изменение выходного напряжения за {} полупериодов'.format(n_periods)) plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/4_2.png', dpi=300) \end{verbatim} \section{Код выполнения пункта 5} \label{app:5.py} \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R1 = 10 # Ом R2 = 40 # Ом R3 = 10 # Ом C = 200e-6 # Фарад U_m = 10 # В omega = 1000 # рад/с harmonics = [1, 3, 5] # Нечетные гармоники до 5-й tau = C * (R1 * R2 + R1 * R3 + R2 * R3) / (R1 + R2) # Постоянная времени n_periods = round((3 * tau)/(2 * np.pi / omega)) def W(s): Z_C = 1 / (s * C) Z_II = (R2 * (R3 + Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C) Z_ent = R1 + Z_II return Z_II / Z_ent U_k_vh = {} for k in harmonics: U_k_vh[k] = (4 * U_m) / (k * np.pi) Z_k_vh = {} I_k_vh = {} U_k_vy = {} phi_k_vy = {} for k in harmonics: w_k = k * omega s_k = 1j * w_k Z_k_vh[k] = R1 + (R2 * (R3 + 1 / (s_k * C))) / (R2 + R3 + 1 / (s_k * C)) I_k_vh[k] = U_k_vh[k] / Z_k_vh[k] W_k = W(s_k) U_k_vy[k] = W_k * U_k_vh[k] phi_k_vy[k] = np.angle(U_k_vy[k]) T = 2 * np.pi / omega # Период фундаментальной гармоники t = np.linspace(0, T * n_periods, 1000) # Время на один период u_vh = np.zeros_like(t) i_vh = np.zeros_like(t) u_vy = np.zeros_like(t) for k in harmonics: u_vh += U_k_vh[k] * np.sin(k * omega * t) i_vh += np.abs(I_k_vh[k]) * np.sin(k * omega * t + np.angle(I_k_vh[k])) u_vy += np.abs(U_k_vy[k]) * np.sin(k * omega * t + phi_k_vy[k]) u4_t = u_vh.copy() # 5.2. Построение графиков plt.figure(figsize=(12, 10)) # Входное напряжение u4(t) plt.subplot(4, 1, 1) plt.plot(t, u4_t, label='$u_4(t)$') plt.ylabel('Напряжение, В') plt.title('Входное напряжение $u_4(t)$') plt.grid(True) plt.legend() # Входное напряжение u_vh(t) plt.subplot(4, 1, 2) plt.plot(t, u_vh, label='$u_{вх}(t)$', color='orange') plt.ylabel('Напряжение, В') plt.title('Входное напряжение $u_{вх}(t)$') plt.grid(True) plt.legend() # Входной ток i_vh(t) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(t, i_vh, label='$i_{вх}(t)$', color='green') plt.ylabel('Ток, А') plt.title('Входной ток $i_{вх}(t)$') plt.grid(True) plt.legend() # Выходное напряжение u_vy(t) plt.subplot(4, 1, 4) plt.plot(t, u_vy, label='$u_{вых}(t)$', color='red') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('Напряжение, В') plt.title('Выходное напряжение $u_{вых}(t)$') plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/5_2.png', dpi=300) # 5.3. Определение действующих значений и коэффициентов искажения U_vh_rms = np.sqrt(sum([(U_k_vh[k])**2 / 2 for k in harmonics])) I_vh_rms = np.sqrt(sum([(np.abs(I_k_vh[k])**2) / 2 for k in harmonics])) U_vy_rms = np.sqrt(sum([(np.abs(U_k_vy[k])**2) / 2 for k in harmonics])) K_U_vh = U_k_vh[1] / U_vh_rms K_I_vh = np.abs(I_k_vh[1]) / I_vh_rms K_U_vy = np.abs(U_k_vy[1]) / U_vy_rms P = U_vh_rms * I_vh_rms * 1 print("Действующие значения:") print(f"U_вх = {U_vh_rms:.4f} В") print(f"I_вх = {I_vh_rms:.4f} А") print(f"U_вых = {U_vy_rms:.4f} В") print("\nКоэффициенты искажения:") print(f"K_U_вх = {K_U_vh:.4f}") print(f"K_I_вх = {K_I_vh:.4f}") print(f"K_U_вых = {K_U_vy:.4f}") print(f"\nАктивная мощность P = {P:.4f} Вт") # 5.4. Замена несинусоидальных кривых эквивалентными синусоидами u_vh_eq = U_k_vh[1] * np.sin(omega * t) i_vh_eq = np.abs(I_k_vh[1]) * np.sin(omega * t + np.angle(I_k_vh[1])) u_vy_eq = np.abs(U_k_vy[1]) * np.sin(omega * t + phi_k_vy[1]) plt.figure(figsize=(12, 10)) # Сравнение u_vh(t) и эквивалентной синусоиды plt.subplot(3, 1, 1) plt.plot(t, u_vh, label='$u_{вх}(t)$ (несинус.)', color='orange') plt.plot(t, u_vh_eq, label='$u_{вх}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--') plt.ylabel('Напряжение, В') plt.title('Сравнение входного напряжения') plt.grid(True) plt.legend() # Сравнение i_vh(t) и эквивалентного синусоида plt.subplot(3, 1, 2) plt.plot(t, i_vh, label='$i_{вх}(t)$ (несинус.)', color='green') plt.plot(t, i_vh_eq, label='$i_{вх}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--') plt.ylabel('Ток, А') plt.title('Сравнение входного тока') plt.grid(True) plt.legend() # Сравнение u_vy(t) и эквивалентного синусоида plt.subplot(3, 1, 3) plt.plot(t, u_vy, label='$u_{вых}(t)$ (несинус.)', color='red') plt.plot(t, u_vy_eq, label='$u_{вых}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--') plt.xlabel('Время, с') plt.ylabel('Напряжение, В') plt.title('Сравнение выходного напряжения') plt.grid(True) plt.legend() plt.tight_layout() plt.savefig('images/5_4.png', dpi=300) plt.close() \end{verbatim} \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} \newpage \section{Список литературы} \begin{enumerate} \item Стрелков Б.В., Шерстняков Ю.Г. \textit{Анализ установившихся и переходных процессов в линейных электрических цепях}. Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. \item Попов В.П. \textit{Основы теории цепей}. М.: Высшая школа, 1985. \item Нейман Л.Р., Демирчан К.С. \textit{Теоретические основы электротехники: В 2 т. Т. 1}. Л.: Энергоиздат, 1981. \item Атабеков Г.И. \textit{Основы теории цепей}. М.: Энергия, 1969. \item Бессонов Л.А. \textit{Теоретические основы электротехники. Электрические цепи}. М.: Высшая школа, 1996. \item Шебес М.Р. \textit{Задачник по теории линейных электрических цепей}. М.: Высшая школа, 1990. \item Масленникова С.И., Аболымов Ю.В. \textit{Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях во временной области}. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. \item Плаксин И.И., Смирнов А.В. \textit{Методы анализа разветвленных электрических цепей}. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. \item LaTeX по-русски. Доступно онлайн: \url{http://studlab.com/pdf/book/LaTeX-po-russki.pdf} \end{enumerate} \end{document}