\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{float} \begin{document} \section*{Условие задачи} Для линейной системы c отрицательной обратной связью заданы передаточные функции звеньев для схемы №2 \[ W_{1}(s)=\frac{40}{5s+1}, \qquad W_{2}(s)=\frac{0.5}{0.16s^{2}+0.8s+1}. \] \section*{Решение} \subsection*{1. Разомкнутый контур} Разомкнутая (петлевая) передаточная функция — произведение \(W_1(s)\) и \(W_2(s)\): \[ W_{p}(s)=W_{1}(s)W_{2}(s) =\frac{40}{5s+1}\; \frac{0.5}{0.16s^{2}+0.8s+1} =\frac{20}{(5s+1)\bigl(0.16s^{2}+0.8s+1\bigr)} . \] \noindent Перемножая знаменатели и упорядочивая степени \(s\), \[ (5s+1)\bigl(0.16s^{2}+0.8s+1\bigr)=0.8s^{3}+4.16s^{2}+5.8s+1. \] \noindent Делим числитель и знаменатель на \(0.8\) для нормализации старшего коэффициента: \[ W_{p}(s)=\boxed{\displaystyle \frac{25}{\,s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}}. \] %---------------------------------------------------------------------- \subsection*{2. Замкнутый контур} Для структуры с отрицательной обратной связью \[ \Phi(s)=\frac{W_{1}(s)}{1+W_{p}(s)}. \] Подставим $W_{1}(s)$ и найденный $W_{p}(s)$: \[ \Phi(s)= \frac{\dfrac{40}{5s+1}} {1+\dfrac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}} =\frac{40\!\bigl(s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25\bigr)} {(5s+1)\bigl(s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+26.25\bigr)} . \] \noindent Раскрывая скобки и группируя коэффициенты, получаем \[ \Phi(s)=\frac{32s^{3}+166.4s^{2}+232s+40} {4s^{4}+21.6s^{3}+33.16s^{2}+110.8s+21}. \] \noindent Нормируем (делим обе части на 4), чтобы коэффициент при \(s^{4}\) в знаменателе был равен 1: \[ \boxed{\displaystyle \Phi(s)=\frac{8s^{3}+41.6s^{2}+58s+10} {\,s^{4}+5.4s^{3}+8.29s^{2}+27.7s+5.25}}. \] \bigskip Полученные выражения пригодны для дальнейшего анализа устойчивости, синтеза регуляторов или построения частотных характеристик. %---------------------------------------------------------- \subsection*{Анализ устойчивости по критерию Гурвица} Характеристический многочлен замкнутой системы (знаменатель найденной передаточной функции) \[ D(s)=s^{4}+5.4\,s^{3}+8.29\,s^{2}+27.7\,s+5.25 . \] \paragraph{Матрица Гурвица.} Для полинома четвёртого порядка \(D(s)=a_{0}s^{4}+a_{1}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{3}s+a_{4}\) с коэффициентами \[ a_{0}=1,\; a_{1}=5.4,\; a_{2}=8.29,\; a_{3}=27.7,\; a_{4}=5.25, \] матрица Гурвица имеет вид \[ H= \begin{pmatrix} a_{1} & a_{3} & 0 & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & 0 \\ 0 & a_{1} & a_{3} & 0 \\ 0 & a_{0} & a_{2} & a_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.4 & 27.7 & 0 & 0 \\ 1 & 8.29 & 5.25 & 0 \\ 0 & 5.4 & 27.7 & 0 \\ 0 & 1 & 8.29 & 5.25 \end{pmatrix}. \] \paragraph{Главные миноры.} Критерий Гурвица требует, чтобы все главные угловые миноры \(\Delta_{k}=\det H_{k}\) (первые \(k\times k\) подматрицы) были положительны. \[ \begin{aligned} \Delta_{1}&=\det \begin{pmatrix}5.4\end{pmatrix}=5.4>0,\\[4pt] \Delta_{2}&=\det \begin{pmatrix} 5.4 & 27.7\\ 1 & 8.29 \end{pmatrix}=17.066>0,\\[6pt] \Delta_{3}&=\det \begin{pmatrix} 5.4 & 27.7 & 0\\ 1 & 8.29 & 5.25\\ 0 & 5.4 & 27.7 \end{pmatrix}=319.6382>0,\\[10pt] \Delta_{4}&=\det H=1678.10055>0. \end{aligned} \] \paragraph{Вывод.} Все главные миноры положительны, следовательно, полином \(D(s)\) удовлетворяет критерию Гурвица, а значит, \[ \boxed{\text{замкнутая система асимптотически устойчива.}} \] %---------------------------------------------------------- \subsection*{Анализ устойчивости по критерию Михайлова} Характеристический многочлен замкнутой системы \[ D(s)=s^{4}+5.4\,s^{3}+8.29\,s^{2}+27.7\,s+5.25 \] рассматриваем на мнимой оси: \(s=j\omega\;( \omega\ge 0)\). \paragraph{Разделим на вещественную и мнимую части.} \[ \begin{aligned} D(j\omega)&=(j\omega)^{4}+5.4\,(j\omega)^{3}+8.29\,(j\omega)^{2} +27.7\,(j\omega)+5.25 \\[4pt] &=\bigl(\omega^{4}-8.29\,\omega^{2}+5.25\bigr) +j\bigl(-5.4\,\omega^{3}+27.7\,\omega\bigr)\\ &=P(\omega)+j\,Q(\omega), \end{aligned} \] \[ \boxed{% \begin{aligned} P(\omega) &= \omega^{4}-8.29\,\omega^{2}+5.25,\\ Q(\omega) &= \omega\bigl(-5.4\,\omega^{2}+27.7\bigr). \end{aligned}} \] \paragraph{Нули \(P(\omega)\) и \(Q(\omega)\).} \[ \begin{aligned} Q(\omega)=0 &\;\Longrightarrow\; \omega=0,\; \omega^{2}=\tfrac{27.7}{5.4}\approx5.130 \;\Longrightarrow\; \omega_{Q}=2.266;\\[4pt] P(\omega)=0 &\;\Longrightarrow\; \omega^{2}_{1,2}= \frac{8.29\pm\sqrt{8.29^{2}-4\cdot5.25}}{2} =\{0.6905,\;7.5995\},\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\; \omega_{P1}=0.831,\; \omega_{P2}=2.756 . \end{aligned} \] \paragraph{Знаки $P$ и $Q$ между узловыми точками.} \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Интервал по }\omega & P(\omega) & Q(\omega) \\ \hline (0,\,0.831) & + & + \\ \hline (0.831,\,2.266) & - & + \\ \hline (2.266,\,2.756) & - & - \\ \hline (2.756,\,\infty)& + & - \\ \end{array} \] \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{mikhailov.png} \caption{Кривая Михайлова для характеристического многочлена $D(s)=s^{4}+5.4s^{3}+8.29s^{2}+27.7s+5.25$.} \end{figure} \paragraph{Траектория $D(j\omega)$ (кривая Михайлова).} При $\omega=0$: $D(j0)=5.25$ ― точка на положительной действительной оси (аргумент $0^{+}$). \begin{enumerate} \item $\omega$ растёт до $\omega_{P1}=0.831$ \(P\) меняет знак $+ \to -$ (пересечение мнимой оси вниз), аргумент убывает на $\tfrac{\pi}{2}$. \item До $\omega_{Q}=2.266$ \(Q>0\), затем $Q$ меняет знак $+\to-$ (пересечение действительной оси), ещё $-\tfrac{\pi}{2}$. \item В точке $\omega_{P2}=2.756$ \(P\) меняет знак $-\to+$ (ещё одно пересечение мнимой оси вниз), ещё $-\tfrac{\pi}{2}$. \item При $\omega\to\infty$: \(P\to+\infty,\; Q\to-\infty\), вектор приближается к положительной действительной оси снизу (аргумент $0^{-}$). Последняя потеря аргумента ещё на $-\tfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} Суммарное изменение аргумента: \[ \Delta\arg D(j\omega)\big|_{\omega=0}^{\omega\to\infty} =-4\cdot\frac{\pi}{2}=-2\pi, \] что и должно быть для полинома четвёртого порядка с положительным старшим коэффициентом. \paragraph{Вывод.} Кривая Михайлова проходит через все четыре квадранта, совершая полный поворот на $-2\pi$ по часовой стрелке, следовательно \[ \boxed{\text{система удовлетворяет критерию Михайлова и устойчива.}} \] \subsection*{Анализ устойчивости по критерию Найквиста–Михайлова} \paragraph{Разомкнутая функция.} Для Найквист-анализа используем разомкнутую передаточную функцию \[ W_{p}(s)=\frac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}. \] \paragraph{Подстановка $s=j\omega$.} \[ \begin{aligned} W_{p}(j\omega) &=\frac{25} {(j\omega)^{3}+5.2\,(j\omega)^{2}+7.25\,(j\omega)+1.25}\\[4pt] &=\frac{25}{\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr) +j\bigl(\omega^{3}+7.25\,\omega\bigr)}. \end{aligned} \] \noindent Разделим на действительную и мнимую части \[ \boxed{% \begin{aligned} \operatorname{Re}W_{p}(j\omega) &=\dfrac{25\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)} {\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)^{2} +\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)^{2}},\\[6pt] \operatorname{Im}W_{p}(j\omega) &=-\dfrac{25\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)} {\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)^{2} +\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)^{2}}. \end{aligned}} \] \paragraph{Ключевые точки траектории.} \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.15} \begin{array}{l|c|c} \omega\;(\text{рад/с}) & W_{p}(j\omega)=\operatorname{Re}+j\,\operatorname{Im} & \text{Замечание}\\ \hline 0 & 20+0j & \text{старт на } +\operatorname{Re} \\ \hline 1.06 & -1.81-2.56j & \text{минимум }\operatorname{Re} \;(\text{левее }-1)\\ \hline 2.70 & -0.68+0j & \text{точка близка к пересечению действительной оси} \\ \hline \omega\!\to\!\infty & 0^{-}+0^{-}j & \text{асимптота к началу координат}\\ \end{array} \] \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.65\textwidth]{nyquist_zoom.png} \caption{Участок диаграммы Найквиста для $W_{p}(j\omega)$ (красная точка~— $-1+0j$).} \end{figure} Кривая Найквиста для $W_{p}(j\omega)$ проходит \emph{правее} критической точки и не охватывает её, поэтому система считается устойчивой. \[ \boxed{\text{Система удовлетворяет критерию Найквиста–Михайлова и устойчива.}} \] \section*{Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ)} Передаточная функция разомкнутого контура (результат предыдущих вычислений) \[ W_{p}(s)=\frac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}. \] \end{document}