\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{russian}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\IfFontExistsTF{Times New Roman}{%
  \setmainfont{Times New Roman}
  \newfontfamily\cyrillicfont{Times New Roman}
}{%
  \IfFontExistsTF{Liberation Serif}{%
    \setmainfont{Liberation Serif}
    \newfontfamily\cyrillicfont{Liberation Serif}
  }{%
    \setmainfont{DejaVu Serif}
    \newfontfamily\cyrillicfont{DejaVu Serif}
  }%
}

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\usepackage{setspace}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{caption}
\usepackage{float}
\usepackage{tikz}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{microtype}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc}
\tcbuselibrary{breakable,skins}

\geometry{left=25mm,right=15mm,top=18mm,bottom=20mm}
\setstretch{1.10}
\setlength{\parindent}{1.25cm}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\jot}{3pt}
\allowdisplaybreaks

\definecolor{bmstuBlue}{gray}{0}
\definecolor{softBlue}{gray}{1}
\definecolor{lineGray}{gray}{0.72}
\definecolor{textGray}{gray}{0.25}

\captionsetup{font=small,labelfont=bf,labelsep=endash,justification=centering}
\titleformat{\section}{\large\bfseries}{}{0pt}{}[\vspace{2pt}\titlerule]
\titleformat{\subsection}{\normalsize\bfseries}{}{0pt}{}
\titlespacing*{\section}{0pt}{10pt}{7pt}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{8pt}{3pt}

\pagestyle{plain}

\newcommand{\dd}{\mathop{}\!d}
\newcommand{\grad}{^{\circ}}
\newcommand{\unit}[1]{\,\text{#1}}
\newcommand{\iv}{i_{\text{в}}}
\newcommand{\wv}{w_{\text{в}}}
\newcommand{\wc}{w_{\text{с}}}
\newcommand{\Doon}{D_{\text{н}}}
\newcommand{\Dor}{D_{\text{р}}}
\newcommand{\Dov}{D_{\text{в}}}
\newcommand{\DorOne}{D_{\text{р1}}}

\newtcolorbox{infobox}[1][]{%
  enhanced, breakable,
  colback=white,
  frame hidden,
  boxrule=0pt,
  arc=0mm,
  left=3mm,right=3mm,top=2mm,bottom=2mm,
  fonttitle=\bfseries,
  before skip=5pt,after skip=7pt,
  #1
}
\newtcolorbox{resultbox}[1][]{%
  enhanced,
  colback=white,
  frame hidden,
  boxrule=0pt,
  arc=0mm,
  left=3mm,right=3mm,top=2mm,bottom=2mm,
  before skip=6pt,after skip=8pt,
  #1
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%------------------------- Титульный лист -------------------------
\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}

% Верхний блок
\noindent
\begingroup
\setlength{\tabcolsep}{0pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\textwidth}{
|>{\centering\arraybackslash}m{0.20\textwidth}
|>{\centering\arraybackslash}X|
}
\hline
\begin{minipage}[c][3.65cm][c]{0.20\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width=2.05cm]{bmstu_logo.png}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[c][3.65cm][c]{0.78\textwidth}
\centering
\fontsize{10.5}{13}\selectfont
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации\\[2pt]
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение\\
высшего образования\\[2pt]
«Московский государственный технический университет\\
имени Н.Э. Баумана\\
(национальный исследовательский университет)»\\
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabularx}
\endgroup

\vspace{0.22cm}
\noindent\rule{\textwidth}{0.8pt}

\vspace{1.55cm}

% Факультет и кафедра
\noindent
{\fontsize{14}{17}\selectfont
Факультет \underline{Информатика и системы управления}
}

\vspace{0.35cm}

\noindent
{\fontsize{14}{17}\selectfont
Кафедра \underline{Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации}
}

\vspace{2.35cm}

% Центральный блок
\begin{center}
{\fontsize{17}{23}\selectfont
Домашнее задание по УТС\\[4pt]
Элементы САУ\\[4pt]
гироскопических приборов
}

\vspace{1.20cm}

{\fontsize{20}{26}\selectfont\bfseries
Поверочный расчет\\[4pt]
индукционного датчика угла
}
\end{center}

\vspace{2.00cm}

% Подписи
\noindent
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}X c c@{}}
{\fontsize{14}{17}\selectfont Студент группы \underline{ИУ2--81}}
&
\makebox[3.5cm]{\hrulefill}
&
\makebox[3.7cm][c]{\fontsize{14}{17}\selectfont Давыдов Д.А.}
\\[-1pt]
&
\makebox[3.5cm][c]{\scriptsize (подпись, дата)}
&
\makebox[3.7cm][c]{\scriptsize (И.О. Фамилия)}
\end{tabularx}

\vspace{0.85cm}

\noindent
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}X c c@{}}
{\fontsize{14}{17}\selectfont Преподаватель}
&
\makebox[3.5cm]{\hrulefill}
&
\makebox[3.7cm][c]{\fontsize{14}{17}\selectfont Коновалов С.Ф.}
\\[-1pt]
&
\makebox[3.5cm][c]{\scriptsize (подпись, дата)}
&
\makebox[3.7cm][c]{\scriptsize (И.О. Фамилия)}
\end{tabularx}

\vspace{0.85cm}

\noindent
{\fontsize{14}{17}\selectfont Оценка \rule{0.58\textwidth}{0.4pt}}

\vfill

\begin{center}
{\fontsize{14}{17}\selectfont 2026 г.}
\end{center}

\end{titlepage}

\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{2}

\section{Проверочный расчет индукционного датчика угла}

\subsection{Дано}
Рассчитать крутизну и потребляемую мощность индукционного датчика угла при заданных параметрах.

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}m{1.65cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.65cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.45cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.55cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.55cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.75cm}>{\centering\arraybackslash}m{1.75cm}}
\toprule
$\Doon$, мм & $\beta$, $\grad$ & $U$, В & $\delta$, мм & $n_{\text{п}}$ & $f_{\text{в}}$, Гц & $\Delta d$, мм \\
\midrule
30 & $\pm5$ & 12 & 0,1 & 6 & 1000 & 0,05 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\begin{infobox}
$\Doon$ --- наружный диаметр; $\beta$ --- рабочий угол; $U$ --- напряжение источника возбуждения; $\delta$ --- воздушный зазор; $n_{\text{п}}$ --- число полюсов; $f_{\text{в}}$ --- частота источника возбуждения; $\Delta d$ --- минимально допустимый диаметр провода обмоток.
\end{infobox}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=0.65\textheight]{eskiz_idu_6_pole.png}
\caption{Эскиз шестиполюсного индукционного датчика угла для заданного варианта}
\end{figure}

\clearpage
\subsection{Конструктивные соотношения}
Используем типовые соотношения для индукционного датчика угла:
\begin{align*}
&\frac{\Doon}{\Dor}=1{,}8\ldots2,
&&\Dor=\frac{\Doon}{2}=\frac{30}{2}=15\unit{мм},\\
&\frac{\Doon}{\Dov}=1{,}2,
&&\Dov=\frac{\Doon}{1{,}2}=25\unit{мм},\\
&\frac{\Dor}{\DorOne}=1{,}2\ldots1{,}3,
&&\DorOne=\frac{\Dor}{1{,}3}=11{,}5\unit{мм},\\
&\frac{\Doon}{h}=10,
&&h=\frac{30}{10}=3\unit{мм}.
\end{align*}

Рабочий угол и ширина полюса:
\begin{align*}
\beta_{\max}&=5\grad=\frac{5\pi}{180}=0{,}0873\unit{рад},\\
a&\geq1{,}2\Dor\beta_{\max}=1{,}2\cdot15\cdot0{,}0873=1{,}57\unit{мм},
\qquad a=2\unit{мм}.
\end{align*}

Отношение числа витков сигнальной обмотки к числу витков обмотки возбуждения принимается равным единице:
\[
\frac{\wc}{\wv}=1.
\]

\section{Магнитная цепь датчика}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    x=1cm, y=1cm,
    every node/.style={font=\small, inner sep=1pt},
    line/.style={line width=0.8pt},
    flux/.style={-{Latex[length=2mm,width=1.2mm]}, line width=0.7pt}
]

% уровни
\def\ytop{3.2}
\def\ybot{0.2}
\def\rtop{1.85}
\def\rbot{1.15}
\def\rad{0.36}

% границы рамки
\def\xleft{-0.1}
\def\xright{12}

% внешняя рамка
\draw[line] (\xleft,\ytop) -- (\xright,\ytop);
\draw[line] (\xleft,\ybot) -- (\xright,\ybot);
\draw[line] (\xleft,\ytop) -- (\xleft,\ybot);
\draw[line] (\xright,\ytop) -- (\xright,\ybot);

% R1
\draw[line] (1.15,\ytop) -- (1.15,\rtop);
\draw[line] (0.90,\rbot) rectangle (1.40,\rtop);
\node at (1.15,1.50) {$R_1$};
\draw[line] (1.15,\rbot) -- (1.15,\ybot);

% R2 + HC2
\draw[line] (3.15,\ytop) -- (3.15,2.76);
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.8pt] (3.15,2.40) circle (\rad);
\node at (3.15,2.40) {\scriptsize $HC_2$};
\draw[line] (3.15,2.04) -- (3.15,\rtop);
\draw[line] (2.90,\rbot) rectangle (3.40,\rtop);
\node at (3.15,1.50) {$R_2$};
\draw[line] (3.15,\rbot) -- (3.15,\ybot);

% R3
\draw[line] (5.15,\ytop) -- (5.15,\rtop);
\draw[line] (4.90,\rbot) rectangle (5.40,\rtop);
\node at (5.15,1.50) {$R_3$};
\draw[line] (5.15,\rbot) -- (5.15,\ybot);

% R4
\draw[line] (7.15,\ytop) -- (7.15,\rtop);
\draw[line] (6.90,\rbot) rectangle (7.40,\rtop);
\node at (7.15,1.50) {$R_4$};
\draw[line] (7.15,\rbot) -- (7.15,\ybot);

% R5 + HC5
\draw[line] (9.15,\ytop) -- (9.15,2.76);
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.8pt] (9.15,2.40) circle (\rad);
\node at (9.15,2.40) {\scriptsize $HC_5$};
\draw[line] (9.15,2.04) -- (9.15,\rtop);
\draw[line] (8.90,\rbot) rectangle (9.40,\rtop);
\node at (9.15,1.50) {$R_5$};
\draw[line] (9.15,\rbot) -- (9.15,\ybot);

% R6
\draw[line] (11.15,\ytop) -- (11.15,\rtop);
\draw[line] (10.90,\rbot) rectangle (11.40,\rtop);
\node at (11.15,1.50) {$R_6$};
\draw[line] (11.15,\rbot) -- (11.15,\ybot);

% потоки
\draw[flux] (0.70,1.85) -- (0.70,1.00);
\node[left=2pt] at (0.70,1.43) {$\Phi_1$};

\draw[flux] (2.55,1.00) -- (2.55,1.85);
\node[left=2pt] at (2.55,1.43) {$\Phi_2$};

\draw[flux] (4.55,1.85) -- (4.55,1.00);
\node[left=2pt] at (4.55,1.43) {$\Phi_3$};

\draw[flux] (6.55,1.85) -- (6.55,1.00);
\node[left=2pt] at (6.55,1.43) {$\Phi_4$};

\draw[flux] (8.55,1.00) -- (8.55,1.85);
\node[left=2pt] at (8.55,1.43) {$\Phi_5$};

\draw[flux] (10.55,1.85) -- (10.55,1.00);
\node[left=2pt] at (10.55,1.43) {$\Phi_6$};

\end{tikzpicture}
\caption{Схема замещения шестиполюсного индукционного датчика угла}
\end{figure}
С учетом симметрии датчика:
\begin{align*}
&\Phi_1=\Phi_4=\Phi',\qquad \Phi_2=\Phi_5=\Phi'',\qquad \Phi_3=\Phi_6=\Phi''',\\
&R_1=R_4=R',\qquad R_2=R_5=R'',\qquad R_3=R_6=R''',\\
&HC_1=HC_4=HC'=\iv\wv.
\end{align*}

Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:
\[
\Phi_1-\Phi_2-\Phi_3+\Phi_4-\Phi_5-\Phi_6=0.
\]

Контурные уравнения:
\[
\begin{cases}
\Phi_1R_1+\Phi_2R_2=HC_1,\\
\Phi_2R_2-\Phi_3R_3=0,\\
\Phi_3R_3+\Phi_4R_4=HC_4.
\end{cases}
\]

Отсюда:
\[
\Phi'R'=HC',\qquad \Phi''R''=\Phi'''R'''=HC',
\qquad
\Phi'=\frac{\iv\wv}{R'},\quad \Phi''=\frac{\iv\wv}{R''},\quad \Phi'''=\frac{\iv\wv}{R'''}.
\]

\section{Магнитная проводимость воздушного зазора}

Магнитная проводимость определяется выражением
\[
G=\mu_0G_{\text{геом}},\qquad \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\unit{Гн/м}.
\]

Площадь полюса и воздушный зазор:
\[
S_{\text{пол}}=ha=3\cdot2=6\unit{мм$^2$}=6\cdot10^{-6}\unit{м$^2$},
\qquad
\delta=0{,}1\unit{мм}=0{,}1\cdot10^{-3}\unit{м}.
\]

Геометрические проводимости двух рабочих зазоров:
\begin{align*}
G'_{\text{геом}}
&=\frac{1}{\delta}\left(\frac{S_{\text{пол}}}{2}-\beta\frac{\Dor}{2}h\right) \\
&=\frac{1}{0{,}1\cdot10^{-3}}
\left(\frac{6\cdot10^{-6}}{2}-\beta\frac{15\cdot10^{-3}}{2}\cdot3\cdot10^{-3}\right)
=0{,}03-0{,}225\beta\unit{м},\\
G''_{\text{геом}}&=0{,}03+0{,}225\beta\unit{м}.
\end{align*}

Средняя проводимость и относительное изменение:
\[
G_0=\frac{G'_{\text{геом}}+G''_{\text{геом}}}{2}=0{,}03\unit{м},
\qquad
\frac{\Delta G}{G_0}=\frac{G''_{\text{геом}}-G'_{\text{геом}}}{G_0}
=\frac{0{,}45\beta}{0{,}03}=15\beta.
\]

\section{Напряжение питания, ток возбуждения и выходное напряжение}

Напряжение источника возбуждения для шестиполюсной системы:
\[
U_{\text{пит}}=2r_{\text{в}}\iv+2\wv\left(\frac{\dd\Phi'}{\dd t}+\frac{\dd\Phi''}{\dd t}\right).
\]

Так как $G'_{\text{геом}}+G''_{\text{геом}}=0{,}06$, получаем
\[
U_{\text{пит}}=2r_{\text{в}}\iv+2\mu_0\wv^2\cdot0{,}06\frac{\dd\iv}{\dd t}.
\]

В комплексной форме модуль тока:
\[
|\iv|=\frac{U_{\text{пит}}}{2\sqrt{r_{\text{в}}^2+\left(\mu_0\cdot4\wv^2\cdot0{,}06\cdot\omega\right)^2}},
\qquad
\omega=2\pi f_{\text{в}}=6283\unit{рад/с}.
\]

Выходное напряжение датчика:
\begin{align*}
U_{\text{с}}&=2\wc\left(\frac{\dd\Phi''}{\dd t}-\frac{\dd\Phi'}{\dd t}\right),\\
\Phi''-\Phi'&=\mu_0\wv\iv\left(G''_{\text{геом}}-G'_{\text{геом}}\right)
=\mu_0\wv\iv\cdot0{,}45\beta,\\
\frac{\dd}{\dd t}\left(\Phi''-\Phi'\right)&=0{,}45\beta\mu_0\wv\frac{\dd\iv}{\dd t},\\
U_{\text{с}}&=2\wc\cdot0{,}45\beta\mu_0\wv\frac{\dd\iv}{\dd t},\\
|U_{\text{с}}|&=4\wc\cdot0{,}9\beta\cdot2\mu_0\wv\omega|\iv|.
\end{align*}

\section{Площадь окна, число витков и сопротивление обмотки}

Площадь окна:
\begin{align*}
S_{\text{окна}}
&=\frac{\pi(\Dor+2\delta)-n_{\text{п}}a}{n_{\text{п}}\cdot2}
\left(\frac{\Dov-\Dor}{2}-\delta\right)\\
&=\frac{\pi(15+2\cdot0{,}1)-6\cdot2}{6\cdot2}
\left(\frac{25-15}{2}-0{,}1\right)
\approx14{,}6\unit{мм$^2$}.
\end{align*}

Коэффициент заполнения окна $K_{\text{зап}}=0{,}5$. Площадь сечения провода диаметром $d=0{,}05\unit{мм}$:
\[
S_{\text{пров}}=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot0{,}05^2}{4}=0{,}001963\unit{мм$^2$}.
\]

Число витков:
\[
N=\frac{S_{\text{окна}}K_{\text{зап}}}{S_{\text{пров}}}
=\frac{14{,}6\cdot0{,}5}{0{,}001963}\approx3718,
\qquad
6w=3718,\quad w\approx620.
\]

Так как принято $\wc/\wv=1$, окончательно:
\[
\wc=\wv=620.
\]

Сопротивление обмотки возбуждения:
\begin{align*}
l_{\text{ср}}&\approx10\unit{мм}=0{,}01\unit{м},
&\rho&=0{,}017\,\text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м},\\
r_{\text{в}}
&=\rho\frac{l_{\text{ср}}\cdot2\wv}{S_{\text{пров}}}
=0{,}017\cdot\frac{0{,}01\cdot2\cdot620}{0{,}001963}
\approx107{,}4\unit{Ом}.
\end{align*}

\section{Расчет тока, мощностей и крутизны датчика}

Ток возбуждения:
\begin{align*}
|\iv|
&=\frac{12}{2\sqrt{107{,}4^2+\left(4\pi\cdot10^{-7}\cdot4\cdot620^2\cdot0{,}06\cdot6283\right)^2}}\\
&\approx0{,}0081\unit{А}=8{,}1\unit{мА}.
\end{align*}

Потребляемая мощность и мощность, выделяемая в обмотках возбуждения:
\[
P_{\text{потр}}=U_{\text{пит}}\iv=12\cdot0{,}0081\approx0{,}098\unit{Вт},
\qquad
P_{\text{выд}}=2r_{\text{в}}\iv^2=2\cdot107{,}4\cdot(0{,}0081)^2\approx0{,}014\unit{Вт}.
\]

Подстановка найденных значений в формулу выходного напряжения дает:
\[
|U_{\text{с}}|=4\cdot620\cdot0{,}9\beta\cdot2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot620\cdot6283\cdot0{,}0081
\approx178{,}1\beta\unit{В}.
\]

Крутизна датчика:
\[
K_{\text{ДУ}}=\frac{|U_{\text{с}}|}{\beta}=178{,}1\unit{В/рад},
\qquad
K_{\text{ДУ}}=\frac{178{,}1\cdot10^3}{57{,}3\cdot60}\approx51{,}8\unit{мВ/угл.мин}.
\]

\subsection{Сводная таблица результатов}
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}m{3.0cm}>{\centering\arraybackslash}m{3.7cm}>{\centering\arraybackslash}m{3.0cm}>{\centering\arraybackslash}m{4.0cm}}
\toprule
Параметр & Значение & Параметр & Значение \\
\midrule
$\Dor$ & $15\unit{мм}$ & $\Dov$ & $25\unit{мм}$ \\
$\DorOne$ & $11{,}5\unit{мм}$ & $h$ & $3\unit{мм}$ \\
$a$ & $2\unit{мм}$ & $\wc/\wv$ & $1$ \\
$\wc=\wv$ & $620$ & $r_{\text{в}}$ & $107{,}4\unit{Ом}$ \\
$\iv$ & $0{,}0081\unit{А}$ & $P_{\text{потр}}$ & $0{,}098\unit{Вт}$ \\
$P_{\text{выд}}$ & $0{,}014\unit{Вт}$ & $K_{\text{ДУ}}$ & $178{,}1\unit{В/рад}\approx51{,}8\unit{мВ/угл.мин}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\end{document}