\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% Пакеты
\usepackage[utf8]{inputenc}        % Кодировка UTF-8
\usepackage[T2A]{fontenc}          % Поддержка русских букв
\usepackage[english,russian]{babel} % Русский язык
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm} % Математические пакеты
\usepackage{graphicx}              % Для вставки изображений
\usepackage{geometry}              % Настройка полей страницы
\usepackage{hyperref}              % Гиперссылки
\usepackage{float}                 % Для управления положением объектов
\usepackage{caption}               % Подписи к рисункам и таблицам
\usepackage{booktabs}              % Улучшенные таблицы
\usepackage{enumitem}              % Настройка списков
\usepackage{indentfirst}		   % Отступ после section
\usepackage{setspace}

\geometry{a4paper, left=30mm, right=15mm, top=20mm, bottom=20mm}
\onehalfspacing
\setlength{\parindent}{1.25cm}  % Отступ абзаца
\setlength{\parskip}{0pt}       % Расстояние между абзацами

\begin{document}

\tableofcontents
\newpage

\section*{Задание на выполнение курсовой работы}
\addcontentsline{toc}{section}{Задание на выполнение курсовой работы}

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
    \item \textbf{Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)}
    \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
        \item Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки трансформатора эквивалентным источником напряжения. Определить его параметры (ЭДС и внутреннее сопротивление) и значение тока в первичной обмотке трансформатора. В качестве первичной обмотки трансформатора выбрать индуктивность в любой ветви, кроме ветви с идеальным источником тока.
        
        \item Записать мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора и построить их волновые диаграммы.
        
        \item Определить значения $M_{nq}$, $M_{np}$, $L_q$, $L_p$ ТР из условия, что индуктивность первичной обмотки $L_n$ известна, $U_1 = 5\,\text{В}$, $U_2 = 10\,\text{В}$. Коэффициент магнитной связи обмоток $k$ следует выбрать самостоятельно в диапазоне: $0{,}5 < k < 0{,}95$ ($n$, $p$, $q$ — номера индуктивностей $T_1$). Записать мгновенные значения $u_1(t)$ и $u_2(t)$.
    \end{enumerate}
    
    \item \textbf{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии}
    \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
        \item Рассчитать токи и напряжения в схеме четырехполюсника методом входного сопротивления (или входной проводимости).
        
        \item Записать мгновенные значения $u_1 = u_3 = u_{\text{вх}}$, $i_{\text{вх}}$ и $u_{\text{вых}}$, определить сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями, а также отношение их действующих значений.
        
        \item Определить передаточные функции: 
        \[
            W(s) = \frac{U_{\text{вых}}(s)}{U_{\text{вх}}(s)}, \quad W(j\omega) = \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}}.
        \]
        
        \item Определить и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. АЧХ и ФЧХ построить в диапазоне частот от $0$ до $5000\,\text{рад/с}$. Используя частотные характеристики, определить $u_{\text{вых}}$ при заданном $u_{\text{вх}}$. Сравнить этот результат с результатом, полученным в пункте 2.2.
        
        \item Построить годограф — линию семейства точек комплексной передаточной функции в диапазоне частот от $0$ до $\infty$ на комплексной плоскости. Указать на годографе точки, соответствующие частотам $0$, $1000\,\text{рад/с}$, $\infty$.
    \end{enumerate}
    
    \item \textbf{Расчет резонансных режимов в электрической цепи}
    \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
        \item Включить в схему четырехполюсника реактивное сопротивление (индуктивность или емкость) таким образом, чтобы $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ совпадали по фазе (режим резонанса напряжений). Определить значение параметра реактивного элемента, а также входное сопротивление, входной ток, добротность и ширину полосы пропускания резонансного контура.
    \end{enumerate}
    
    \item \textbf{Расчет переходных процессов классическим методом}
    \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
        \item Определить и построить переходные характеристики четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения. Показать связь переходной характеристики для выходного напряжения с передаточной функцией.
        
        \item Переключатель $Кл$ перевести в положение $2$ в момент времени, когда входное напряжение $u_3(t) = 0$, $\dfrac{du_3}{dt} > 0$, т.е. в момент начала положительного импульса напряжения $u_4(t)$. Это условие будет выполнено при равенстве аргумента входного напряжения $(\omega t + \psi_{u3}) = 2 k \pi$, где $k = 0, 1, 2, 3$. Рассчитать и построить графики изменения тока $i_{\text{вх}}$ и напряжения $u_{\text{вых}}$ четырехполюсника при подключении его к клеммам с напряжением $u_4(t)$ в момент времени 
        \[
            t = \frac{2 k \pi - \psi_{u3}}{\omega}
        \]
        с учетом запаса энергии в реактивных элементах схемы от предыдущего режима работы (пункт 2.2):
        \begin{enumerate}[label=\alph*.]
            \item На интервале $t \in [0_+, T]$, где $T$ — период изменения напряжения $u_4$;
            \item С использованием ЭВМ на интервале $t \in [0_+, nT]$, где $n$ — количество периодов, которое определяется длительностью переходного процесса.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
    \item \textbf{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии}
    \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
        \item Рассчитать законы изменения тока $i_{\text{вх}}(t)$ и напряжения $u_{\text{вых}}(t)$ частотным методом, представив напряжение $u_{\text{вх}}(t) = u_4(t)$ в виде ряда Фурье до 5-й гармоники:
        \[
            u_{\text{вх}}(t) = \sum_{\substack{k=1\\k \text{ нечетное}}}^{5} \left( \frac{4 U_m}{k \pi} \right) \sin(k \omega t),
        \]
        где $k$ — целое нечетное число.
        
        \item Построить графики $u_{\text{вх}}(t) = u_4(t)$, $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ в одном масштабе времени один под другим, где $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$ — суммарные мгновенные значения.
        
        \item Определить действующие значения $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ и коэффициенты искажения для $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$. Сравнить графики $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$ с соответствующими графиками пункта 4.2.б и сделать выводы.
        
        \item Заменить несинусоидальные кривые $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ эквивалентными синусоидами и построить их графики.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Исходные данные}
\addcontentsline{toc}{section}{Исходные данные}

\begin{align*}
    e_1(t) &= 424{,}3 \sin(1000t + 1{,}571)\,\text{В}, \\
    J_3(t) &= 6{,}0 \sin(1000t + 2{,}356)\,\text{А}, \\
    e_5(t) &= 851{,}6 \sin(1000t + 0{,}951)\,\text{В}, \\
    e_6(t) &= 806{,}2 \sin(1000t + 4{,}051)\,\text{В}, \\
    L_2 &= 70\,\text{мГн}, \\
    R_3 &= 80\,\Omega, \\
    R_4 &= 10\,\Omega, \\
    C_4 &= 33{,}3\,\mu\text{Ф}, \\
    R_5 &= 90\,\Omega, \\
    C_5 &= 12{,}5\,\mu\text{Ф}, \\
    R_6 &= 50\,\Omega.
\end{align*}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.52\textwidth]{images/scheme/left_side.jpg}
    \caption{Исходная схема цепи}
    \label{fig:voltage}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{images/scheme/transformations.jpg}
    \caption{Преобразования исходной цепи}
    \label{fig:voltage}
\end{figure}

\section{Расчет источника гармонических колебаний (ИГК)}

\subsection{Представление исходной схемы относительно первичной обмотки трансформатора}

Исходная система уравнений в установившемся синусоидальном режиме была сведена к виду:

\[
U_{xx} + i_5 Z_5 + i_4 Z_4 = E_5,
\]
\[
i_5 = J_3,
\]
\[
Z_4 i_4 + Z_6 i_6 = -E_6 - E_1,
\]
\[
i_5 - i_4 + i_6 = 0.
\]

Здесь $Z_4$, $Z_5$, $Z_6$ — импедансы ветвей, $E_1$, $E_5$, $E_6$ — комплексные ЭДС источников, $J_3$ — комплексный источник тока.

\noindent \textbf{Определение импедансов:}
\[
Z_4 = R_4 + \frac{1}{j \omega C_4} = 10 + \frac{1}{j \cdot 1000 \cdot 33{,}3\times10^{-6}} = 10 - j30{,}03003\,\Omega.
\]

\[
Z_5 = R_5 + \frac{1}{j \omega C_5} = 90 + \frac{1}{j \cdot 1000 \cdot 12{,}5\times10^{-6}} = 90 - j80\,\Omega.
\]

\[
Z_6 = R_6 = 50\,\Omega.
\]

Подставляя найденные значения в систему уравнений и решая ее (численно, методом, представленным в коде Python), получаем:
\[
i_4 = 0.9453 + j7.5411\,\text{А}, \quad
i_5 = -4.2418 + j4.2435\,\text{А}, \quad
i_6 = 5.1871 + j3.2976\,\text{А}.
\]

Определяем эквивалентное напряжение:
\[
U_{xx} = E_5 - Z_5 i_5 - Z_4 i_4 = 301.0432 - j75.0818\,\text{В}.
\]

Модуль и фаза $U_{xx}$:
\[
|U_{xx}| \approx 310.2649\,\text{В}, \quad \varphi(U_{xx}) \approx -0.2444\,\text{рад}.
\]

Для определения тока в первичной обмотке трансформатора (через $L_2$) находим полный импеданс:
\[
Z_{\text{equiv}} = Z_5 + \frac{Z_4 Z_6}{Z_4 + Z_6}, \quad Z_{\text{total}} = Z_{\text{equiv}} + j\omega L_2.
\]

Тогда:
\[
I_{L_2} = \frac{U_{xx}}{Z_{\text{total}}} = 2.8215 + j0.0017\,\text{А}.
\]

Модуль и фаза $I_{L_2}$:
\[
|I_{L_2}| \approx 2.8215\,\text{А}, \quad \varphi(I_{L_2}) \approx 0.0006185\,\text{рад}.
\]

\subsection{Мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора}

Переходим к мгновенным значениям:
\[
u_{xx}(t) = |U_{xx}|\sin(\omega t + \varphi(U_{xx})) \approx 310.2649\sin(1000t - 0.2444)\,\text{В},
\]

\[
i_{L_2}(t) = |I_{L_2}|\sin(\omega t + \varphi(I_{L_2})) \approx 2.8215\sin(1000t + 0.0006185)\,\text{А}.
\]

Ниже приведен пример волновых диаграмм тока и напряжения:

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/mgnov_znach.png}
\caption{Мгновенные значения тока и напряжения в первичной обмотке}
\end{figure}

\subsection{Определение $M_{nq}$, $M_{np}$, $L_q$, $L_p$ и мгновенных значений $u_1(t)$, $u_2(t)$}

Дано:
\[
L_n = 10\,\text{мГн}, \quad U_1 = 5\,\text{В}, \quad U_2 = 10\,\text{В}, \quad 0{,}5 < k < 0{,}95.
\]

Коэффициент трансформации:
\[
n = \frac{U_2}{U_1} = \frac{10}{5} = 2.
\]

Тогда:
\[
L_p = L_n n^2 = 0.01 \cdot 4 = 0.04\,\text{Гн}, \quad L_q = L_p = 0.04\,\text{Гн}.
\]

Взаимная индуктивность:
\[
M_{np} = M_{nq} = k\sqrt{L_n L_p} = 0.7\sqrt{0.01 \cdot 0.04} = 0.014\,\text{Гн}.
\]

Мгновенные напряжения на обмотках трансформатора:
\[
u_1(t) = U_1 \sin(\omega t) = 5\sin(1000t)\,\text{В},
\]
\[
u_2(t) = U_2 \sin(\omega t) = 10\sin(1000t)\,\text{В}.
\]

Кроме того, при подаче напряжения $u_1(t)$ на индуктивность $L_n$ ток определяется уравнением:
\[
u_1(t) = L_n \frac{di_n(t)}{dt}.
\]

Подстановка:
\[
5\sin(1000t) = 0.01 \frac{di_n}{dt} \implies \frac{di_n}{dt}=500\sin(1000t).
\]

Интегрируя при $i_n(0)=0$:
\[
i_n(t)=\frac{1-\cos(1000t)}{2}\,\text{А}.
\]

\subsection{Вывод}
По итогам расчета и анализа исходной схемы ИГК относительно первичной обмотки трансформатора был получен эквивалентный источник напряжения с определенной ЭДС $U_{xx}$ и внутренним импедансом, через который протекает ток $I_{L_2}$. Модуль и фаза этих величин установлены численно, что позволило перейти к мгновенным значениям напряжения и тока.

Анализ показал, что форма тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора является синусоидальной, причем фаза тока отстает от фазы напряжения незначительно (что соответствует малой индуктивной нагрузке). Сравнение амплитуд подтверждает адекватность выбранных параметров и правильность преобразований схемы.

На приведенном графике видна синусоидальная форма тока и напряжения с одинаковой частотой. Ток через первичную обмотку достигает максимума в пределах рассматриваемого временного промежутка и демонстрирует сдвиг фазы относительно напряжения. При этом, амплитудные значения ($\approx 2{,}82\,\text{А}$ для тока и $\approx 310\,\text{В}$ для напряжения) соответствуют рассчитанным величинам из комплексных значений.

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:1.py}.


\section{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике}

\subsection*{Схема четырехполюсника}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/scheme/4pol.jpg}
    \caption{Исходная схема четырехполюсника}
    \label{fig:voltage}
\end{figure}

\subsection{Расчет токов и напряжений методом входного импеданса}

Исходные данные:
\[
R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2 = 40\,\Omega,\quad R_3 = 10\,\Omega,\quad C = 200\times10^{-6}\,\text{Ф},\quad \omega = 1000\,\text{рад/с}.
\]
Входное напряжение:
\[
U_{\text{вх}} = 5\,\text{В}, \quad \varphi(U_{\text{вх}}) = -0.2444\,\text{рад}.
\]

В комплексной форме (действующее значение):
\[
\tilde{U}_{\text{вх}} = 5e^{-j0.2444}\,\text{В}.
\]

Импеданс конденсатора:
\[
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j\cdot1000\cdot200\times10^{-6}} = \frac{1}{j0.2} = -j5\,\Omega.
\]

Параллельный участок с $R_2$, $R_3$ и $C$:
\[
Z_{||} = \frac{R_2(R_3+Z_C)}{R_2+R_3+Z_C}.
\]

Подставляем численные значения:
\[
R_3+Z_C = 10 - j5,\quad R_2=40.
\]
\[
R_2+R_3+Z_C = 40+10 - j5 = 50 - j5.
\]
\[
Z_{||} = \frac{40(10 - j5)}{50 - j5} = 8.3168 - j3.1683\,\Omega.
\]

Входной импеданс:
\[
Z_{\text{вх}} = R_1 + Z_{||} = 10 + (8.3168 - j3.1683) = 18.3168 - j3.1683\,\Omega.
\]

Входной ток:
\[
i_{\text{вх}} = \frac{\tilde{U}_{\text{вх}}}{Z_{\text{вх}}} = \frac{5e^{-j0.2444}}{18.3168 - j3.1683}.
\]

Численный результат (из программы):
\[
i_{\text{вх}} = 0.26826 - j0.01965\,\text{А}.
\]

Напряжение на параллельной части:
\[
U_{||} = i_{\text{вх}}Z_{||} = 2.1688 - j1.0134\,\text{В}.
\]

Ток через $R_1$:
\[
i_1 = \frac{U_{\text{вх}} - U_{||}}{R_1} = \frac{5e^{-j0.2444} - (2.1688 - j1.0134)}{10}.
\]

Из программы:
\[
i_1 = 0.26826 - j0.01965\,\text{А}.
\]

Токи в параллельной ветви:
\[
i_2 = \frac{U_{||}}{R_2} = \frac{2.1688 - j1.0134}{40} = 0.05422 - j0.02533\,\text{А}.
\]

\[
i_3 = \frac{U_{||}}{R_3+Z_C} = \frac{2.1688 - j1.0134}{10 - j5} = 0.21404 + j0.00568\,\text{А}.
\]

\subsection{Мгновенные значения, фазовые соотношения, отношение действующих значений}

Выходное напряжение:
\[
U_{\text{вых}} = i_3(R_3 + Z_C) = 2.1688 - j1.0134\,\text{В}.
\]

Модуль и фаза:
\[
|U_{\text{вых}}| = 2.3939\,\text{В}, \quad \varphi(U_{\text{вых}}) = -0.4371\,\text{рад}.
\]

Отношение амплитуд действующих значений:
\[
\frac{|U_{\text{вых}}|}{|U_{\text{вх}}|} = 0.4788.
\]

Сдвиг фаз между $U_{\text{вых}}$ и $U_{\text{вх}}$:
\[
\Delta\varphi = \varphi(U_{\text{вых}})-\varphi(U_{\text{вх}}) = -0.4371 - (-0.2444) = -0.1927\,\text{рад}.
\]

Мгновенные значения при $\omega=1000\,\text{рад/с}$:
\[
u_{\text{вх}}(t) = \sqrt{2}\cdot5\sin(1000t -0.2444),\quad
u_{\text{вых}}(t) = \sqrt{2}\cdot2.3939\sin(1000t -0.4371).
\]

\subsection{Передаточные функции}

Передаточная функция:
\[
W(s) = \frac{U_{\text{вых}}(s)}{U_{\text{вх}}(s)}.
\]

При $s=j\omega$:
\[
W(j\omega)=\frac{U_{\text{вых}}(j\omega)}{U_{\text{вх}}(j\omega)}.
\]

Из программы:
\[
W(j0.001) \approx 0.8,\quad W(j1000) \approx 0.47 - j0.09,\quad W(j\infty) \approx 0.4444.
\]

\subsection{АЧХ и ФЧХ}


\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{images/achx.png}
\caption{Амплитудно-частотная характеристика}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{images/fchx.png}
\caption{Фазо-частотная характеристика}
\end{figure}

Рассчитанная АЧХ показывает убывание амплитуды выходного напряжения по мере увеличения частоты от 0 до 5000\,\text{рад/с}, а ФЧХ демонстрирует фазовый сдвиг, достигающий минимума около некоторой частоты и затем уменьшающийся по модулю при дальнейшем росте частоты.

По АЧХ при $\omega=1000\,\text{рад/с}$ можно определить $|U_{\text{вых}}|$, что совпадает с результатом, полученным напрямую из расчета в пункте 2.2.

\subsection{Годограф передаточной функции}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/godograf_polar.png}
\caption{Годограф в полярной системе координат}
\end{figure}

Годограф передаточной функции $W(j\omega)$ указывает, как меняется расположение точки $W(j\omega)$ при изменении $\omega$ от 0 до $\infty$. На графике отмечены характерные точки при $\omega=0$, $1000\,\text{рад/с}$ и $\infty$.

\subsection{Вывод}
Рассчитаны напряжения и токи методом входного импеданса. Получены мгновенные значения входного и выходного напряжений, их фазовые соотношения и отношение амплитуд. Определена передаточная функция, построены амплитудно- и фазочастотные характеристики, а также годограф. Результаты подтверждают снижение амплитуды выходного сигнала по мере увеличения частоты и соответствуют значениям, определенным непосредственным расчетом.

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:2.py}.

\section{Расчет резонансных режимов в электрической цепи}

\subsection{Определение параметров резонанса напряжений}

Дано:
\[
R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2 = 40\,\Omega,\quad R_3 = 10\,\Omega,\quad C=200\times10^{-6}\,\text{Ф},\quad \omega=1000\,\text{рад/с}.
\]

Входное напряжение:
\[
U_{\text{вх}}^{rms}=5\,\text{В},\quad \varphi(U_{\text{вх}})=-0.2444\,\text{рад}.
\]
В комплексной форме:
\[
\tilde{U}_{\text{вх}} = 5e^{-j0.2444}\,\text{В}.
\]

Импеданс конденсатора:
\[
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j5\,\Omega.
\]

Эквивалентный импеданс без дополнительной индуктивности:
\[
Z_{||} = \frac{R_2(R_3+Z_C)}{R_2+R_3+Z_C}, \quad R_3+Z_C = 10 - j5.
\]
\[
R_2 + R_3 + Z_C = 40 + 10 - j5 = 50 - j5.
\]
\[
Z_{||} = \frac{40(10 - j5)}{50 - j5} = 8.3168 - j3.1683\,\Omega.
\]

Входной импеданс:
\[
Z_{\text{вх}} = R_1 + Z_{||} = 10 + (8.3168 - j3.1683) = 18.3168 - j3.1683\,\Omega.
\]

Как видно, мнимая часть $Z_{\text{вх}}$ отрицательна, следовательно, для достижения резонанса напряжений (когда $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ совпадают по фазе) необходимо ввести индуктивность $L$, компенсирующую мнимую часть.

Требование резонанса:
\[
\Im(Z_{\text{вх}} + j\omega L) = 0 \implies -3.1683 + \omega L = 0.
\]

Отсюда:
\[
L = \frac{3.1683}{1000} = 0.0031683\,\text{Гн} \approx 0.003168\,\text{Гн}.
\]

При добавлении индуктивности $L$:
\[
Z_L = j\omega L = j(1000 \cdot 0.003168) = j3.1683\,\Omega.
\]

Новый входной импеданс:
\[
Z_{\text{total}} = Z_{\text{вх}} + Z_L = (18.3168 - j3.1683) + j3.1683 = 18.3168 + j0\,\Omega.
\]

Таким образом, при резонансе входной импеданс чисто активный:
\[
Z_{\text{total}} = 18.32\,\Omega.
\]

Входной ток:
\[
i_{\text{вх}} = \frac{\tilde{U}_{\text{вх}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{5e^{-j0.2444}}{18.3168} = 0.273\,e^{-j0.2444}\,\text{А} \approx 0.2649 - j0.0661\,\text{А}.
\]

Практически, угол между $u_{\text{вх}}$ и $i_{\text{вх}}$ близок к нулю (разница очень мала и обусловлена численными округлениями).

\subsection*{Добротность и полоса пропускания резонансного контура}

При резонансе:
\[
R_{\text{total}} = 18.32\,\Omega,\quad L = 0.003168\,\text{Гн}.
\]

Добротность:
\[
Q = \frac{\omega L}{R_{\text{total}}} = \frac{1000 \cdot 0.003168}{18.32} \approx 0.17.
\]

Ширина полосы пропускания (по определению для резонансных контуров):
\[
\Delta\omega = \frac{R_{\text{total}}}{L} = \frac{18.32}{0.003168} \approx 5781.25\,\text{рад/с}.
\]

\subsection{Вывод}
В схему введена индуктивность $L \approx 3.168\,\text{мГн}$, благодаря чему на частоте $\omega=1000\,\text{рад/с}$ реактивности взаимно компенсировались, и входное напряжение стало совпадать по фазе с входным током. Входное сопротивление в резонансе чисто активное и равно $18.32\,\Omega$. Добротность контура невелика ($Q \approx 0.17$), ширина полосы пропускания достаточно большая ($\Delta\omega \approx 5781\,\text{рад/с}$). Это означает, что резонанс выражен слабо и контур имеет сравнительно пологую частотную характеристику.

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:3.py}.

\section{Расчет переходных процессов классическим методом}

\subsection{Расчет переходных процессов классическим методом}

На вход четырехполюсника подается единичный скачок напряжения (с 0 до 1 В) в момент времени \(t=0\):
\[
u_{\text{вх}}(t)=u(t),
\]
где \(u(t)\) — функция Хевисайда.

\subsubsection*{Определение установившегося режима}

При \(t \to \infty\) конденсатор переходит в состояние постоянного заряда, и ток через него равен нулю. Тогда цепь фактически сводится к последовательному соединению \(R_1\) и \(R_2\) (ветвь с \(R_3\) и \(C\) не пропускает постоянный ток). При единичном постоянном входном напряжении:
\[
i_{\text{вх},\infty}=\frac{1\,\text{В}}{R_1+R_2}=\frac{1}{10+40}=\frac{1}{50}=0.02\,\text{А}.
\]

Падение напряжения на \(R_1=10\,\Omega\):
\[
U_{R_1,\infty}=i_{\text{вх},\infty}\cdot R_1=0.02\cdot10=0.2\,\text{В}.
\]

Напряжение в точке между \(R_1\) и \(R_2\):
\[
u_{\text{вых},\infty}=1\,\text{В}-0.2\,\text{В}=0.8\,\text{В}.
\]

Итак, при \(t\to\infty\):
\[
i_{\text{вх},\infty}=0.02\,\text{А},\quad u_{\text{вых},\infty}=0.8\,\text{В}.
\]

\subsubsection*{Форма переходных характеристик}

Решение дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в данной цепи, с использованием метода преобразования Лапласа дает следующее уравнение для напряжения на конденсаторе \(U_C(t)\):
\[
U_C(t) = U_{C,\infty} + A e^{p t},
\]
где \(U_{C,\infty}\) — установившееся значение напряжения, \(A\) — константа, зависящая от начальных условий, а \(p\) — корень характеристического уравнения системы.

\textbf{Характеристическое уравнение}: 
\[
p = -\frac{R_1 + R_2}{C \cdot (R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3)} = -277.78\,\text{с}^{-1}.
\]

Подставляя значения в общее решение и применяя начальные условия \(t=0\), получаем:
\[
U_C(0) = 0 = U_{C,\infty} + A \implies A = -U_{C,\infty}.
\]

Тогда напряжение на конденсаторе имеет вид:
\[
U_C(t) = U_{C,\infty} (1 - e^{p t}).
\]

Ток через конденсатор:
\[
i_C(t) = C \frac{dU_C(t)}{dt} = -C \cdot U_{C,\infty} \cdot p e^{p t}.
\]

Входной ток и выходное напряжение:
\[
i_{\text{вх}}(t) = i_C(t) + \frac{U_{\text{вых}}(t)}{R_2}, \quad u_{\text{вых}}(t) = U_C(t) + R_3 i_C(t).
\]

Подставляя численные значения:
\[
i_{\text{вх}}(t) = 0.02 - 0.0755 e^{-277.78 t}, \quad u_{\text{вых}}(t) = 0.8 - 1.2444 e^{-277.78 t}.
\]

\subsubsection*{Импульсные характеристики}

Импульсные характеристики определяются как производные от переходных характеристик:
\[
k_i(t) = \frac{d h_i(t)}{dt} = 0.0755 e^{-277.78 t}, \quad k_u(t) = \frac{d h_u(t)}{dt} = 1.2444 e^{-277.78 t}.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/h_i_h_u.png}
\caption{Переходные характеристики $h_i(t)$ и $h_u(t)$}
\label{fig:h_i_h_u}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/k_i_k_u.png}
\caption{Импульсные характеристики $k_i(t)$ и $k_u(t)$}
\label{fig:k_i_k_u}
\end{figure}

Эти результаты подтверждают, что система выходит на установившееся состояние с экспоненциальным затуханием, а импульсные характеристики дают прямую связь с передаточной функцией системы.

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:4_1.py}.

\subsection{Исследование переходного процесса при переключении}

Цель данного этапа — определить переходные и импульсные характеристики четырехполюсника для входного тока и выходного напряжения при единичном скачке входного напряжения. Также необходимо проанализировать связь переходной характеристики для выходного напряжения с передаточной функцией.

\subsubsection*{Исходные данные и постановка задачи}

Рассматриваем четырехполюсник с параметрами:
\[
R_1 = 10\,\Omega,\quad R_2=40\,\Omega,\quad R_3=10\,\Omega,\quad C=200\times10^{-6}\,\text{Ф}.
\]

На вход четырехполюсника подается единичный скачок напряжения (с 0 до 1 В) в момент времени \(t=0\):
\[
u_{\text{вх}}(t)=u(t),
\]
где \(u(t)\) — функция Хевисайда.

Задача:  
- Определить переходные характеристики для входного тока и выходного напряжения, нормированные на 1 В входного шага:
\[
h_i(t)=\frac{i_{\text{вх}}(t)}{u_{\text{вх}}},\quad h_u(t)=\frac{u_{\text{вых}}(t)}{u_{\text{вх}}}.
\]
При \(u_{\text{вх}}=1\,\text{В}\), фактически \(h_i(t)=i_{\text{вх}}(t)\) и \(h_u(t)=u_{\text{вых}}(t)\).

- По переходным характеристикам получить импульсные характеристики:
\[
k_i(t)=\frac{d h_i(t)}{dt},\quad k_u(t)=\frac{d h_u(t)}{dt}.
\]

\subsubsection*{Расчет во временной области при воздействии периодического сигнала}

На вход цепи подается периодический прямоугольный сигнал с амплитудой \(U_0 = 10\,\text{В}\) и частотой \(\omega = 1000\,\text{рад/с}\). Рассчитаем изменения напряжения на конденсаторе, выходного напряжения и входного тока за несколько периодов.

\paragraph{Параметры расчета.}
Период входного сигнала:
\[
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1000} = 0.00628\,\text{с}.
\]
Постоянная времени цепи определяется как:
\[
\tau = C \cdot \left(\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3\right).
\]
Подставляя численные значения:
\[
\tau = 200\times10^{-6} \cdot \left(\frac{10 \cdot 40}{10 + 40} + 10\right) = 0.0024\,\text{с}.
\]

\paragraph{Алгоритм расчета.}
Для анализа будем использовать численный метод с временным шагом \(dt\). Рассмотрим полупериоды сигнала:

1. \(t_0 = \frac{\pi}{\omega}\) — начальное время, когда на входе сигнал изменяется.
2. В каждом полупериоде пересчитываются:
   - Установившееся напряжение на конденсаторе:
     \[
     U_{C_{\text{уст}}} = U_{\text{вх}} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}.
     \]
   - Временная константа \(\tau\) и коэффициент затухания \(p = -\frac{1}{\tau}\).
   - Переходный процесс определяется как:
     \[
     U_C(t) = U_{C_{\text{уст}}} + A e^{p (t - t_0)},\quad A = U_{C_{\text{пред}}} - U_{C_{\text{уст}}}.
     \]
   - Ток через конденсатор:
     \[
     i_3(t) = C \frac{d U_C(t)}{dt} = C A p e^{p (t - t_0)}.
     \]
   - Выходное напряжение:
     \[
     U_{\text{вых}}(t) = U_C(t) + R_3 i_3(t).
     \]
   - Входной ток:
     \[
     i_{\text{вх}}(t) = i_3(t) + \frac{U_{\text{вых}}(t)}{R_2}.
     \]

\paragraph{Результаты.} Выполним расчет за несколько полупериодов, используя программный код Python. Графики изменения \(U_C(t)\), \(U_{\text{вых}}(t)\) и \(i_{\text{вх}}(t)\) представлены на рисунках.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/4_2.png}
    \caption{Изменение напряжения на конденсаторе, выходного напряжения и входного тока}
    \label{fig:4_2_results}
\end{figure}

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:4_2.py}.

\subsection{Вывод}

На графиках видно, что в каждом полупериоде входного сигнала переходные процессы экспоненциально затухают с постоянной времени \(\tau\). При этом выходное напряжение и входной ток достигают установившихся значений, зависящих от параметров цепи и входного сигнала.


\section{Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при несинусоидальном входном воздействии}

\subsection{Законы изменения тока $i_{\text{вх}}(t)$ и напряжения $u_{\text{вых}}(t)$}

Входное напряжение $u_{\text{вх}}(t)$ представлено в виде ряда Фурье до 5-й гармоники:
\[
    u_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} \frac{4 U_m}{k \pi} \sin(k \omega t),
\]
где $U_m = 10 \text{ В}$, $\omega = 1000 \text{ рад/с}$. Для каждой гармоники:

1. \textbf{Амплитуда $U_{k\text{вх}}$}:
\[
    U_{k\text{вх}} = \frac{4 U_m}{k \pi}.
\]
2. \textbf{Комплексный импеданс для цепи}:
\[
    Z_C = \frac{1}{j \omega_k C}, \quad Z_{R3C} = R_3 + Z_C, \quad Z_{\text{паралл}} = \frac{R_2 Z_{R3C}}{R_2 + Z_{R3C}}, \quad Z_{\text{итого}} = R_1 + Z_{\text{паралл}}.
\]
3. \textbf{Комплексный ток гармоники}:
\[
    I_{k\text{вх}} = \frac{U_{k\text{вх}}}{Z_{\text{итого}}}.
\]
4. \textbf{Выходное напряжение гармоники} определяется через передаточную функцию $W(\omega_k)$:
\[
    W(\omega_k) = \frac{Z_{\text{паралл}}}{Z_{\text{итого}}}, \quad U_{k\text{вых}} = W(\omega_k) \cdot U_{k\text{вх}}.
\]
5. \textbf{Мгновенные значения} для каждой гармоники:
\[
    i_{\text{вх},k}(t) = |I_{k \text{вх}}| \sin(\omega_k t + \angle I_{k \text{вх}}), \quad u_{\text{вых},k}(t) = |U_{k \text{вых}}| \sin(\omega_k t + \angle U_{k \text{вых}}).
\]
Суммируя гармоники, находим суммарные мгновенные значения:
\[
    u_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} U_{k\text{вх}} \sin(\omega_k t), \quad i_{\text{вх}}(t) = \sum_{k=1,3,5} i_{\text{вх},k}(t), \quad u_{\text{вых}}(t) = \sum_{k=1,3,5} u_{\text{вых},k}(t).
\]

\subsection{Построение графиков $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$, $u_{\text{вых}}(t)$}

На графиках ниже представлены мгновенные значения сигналов $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$ в одном масштабе времени:

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/5_2.png}
    \caption{Графики $u_{\text{вх}}(t)$, $i_{\text{вх}}(t)$ и $u_{\text{вых}}(t)$}
    \label{fig:5_2_signals}
\end{figure}

\subsection{Действующие значения и коэффициенты искажений}

1. \textbf{Действующие значения}:
\[
    U_{\text{вх}} = \sqrt{
        \frac{U_{1\text{вх}}^2 + U_{3\text{вх}}^2 + U_{5\text{вх}}^2}{2}
    },
\]
\[
    I_{\text{вх}} = \sqrt{
        \frac{|I_{1\text{вх}}|^2 + |I_{3\text{вх}}|^2 + |I_{5\text{вх}}|^2}{2}
    },
\]
\[
    U_{\text{вых}} = \sqrt{
        \frac{U_{1\text{вых}}^2 + U_{3\text{вых}}^2 + U_{5\text{вых}}^2}{2}
    }.
\]
2. \textbf{Коэффициенты искажений} для токов и напряжений:
\[
    K_{U_{\text{вх}}} = \frac{U_{1\text{вх}}}{U_{\text{вх}}}, \quad K_{I_{\text{вх}}} = \frac{|I_{1\text{вх}}|}{I_{\text{вх}}}, \quad K_{U_{\text{вых}}} = \frac{U_{1\text{вых}}}{U_{\text{вых}}}.
\]
Сравнивая результаты с графиками из пункта 4.2.б, можно сделать вывод, что наличие высших гармоник приводит к значительным искажениям формы тока и выходного напряжения.

\subsection{Замена несинусоидальных кривых эквивалентными синусоидами}

Несинусоидальные сигналы заменим эквивалентными синусоидами, соответствующими первой гармонике:
\[
    u_{\text{вх, экв}}(t) = U_{1\text{вх}} \sin(\omega t), \quad i_{\text{вх, экв}}(t) = |I_{1\text{вх}}| \sin(\omega t + \phi), \quad u_{\text{вых, экв}}(t) = |U_{1\text{вых}}| \sin(\omega t + \phi).
\]

На рисунке представлено сравнение исходных несинусоидальных сигналов с их эквивалентами:

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{images/5_4.png}
    \caption{Сравнение несинусоидальных сигналов и их эквивалентных синусоид}
    \label{fig:5_4_signals}
\end{figure}

\subsection{Выводы}

Совпадение графиков $i_{вх}(t)$ и $u_{вых}(t)$ в пунктах 4.2 и 5.2 связано с доминированием первой гармоники во входном сигнале. Высшие гармоники присутствуют, но их влияние недостаточно велико, чтобы внести существенные искажения в форму сигналов. Следовательно, визуально форма тока и выходного напряжения остается практически идентичной результатам для синусоидального воздействия из пункта 4.2.

См. код реализации на Python в приложении~\ref{app:5.py}.

\section{Приложение}

\appendix
\section{Код выполнения пункта 1}
\label{app:1.py}

\begin{verbatim}
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R3 = 80      # Ом
R4 = 10      # Ом
R5 = 90      # Ом
R6 = 50      # Ом
C4 = 33.3e-6 # Ф
C5 = 12.5e-6 # Ф
L2 = 70e-3   # Гн

omega = 1000  # рад/с

t = sp.Symbol('t', real=True)

E1_magnitude = 424.3
E1_phase = 1.571  # радиан
E1 = E1_magnitude * sp.exp(sp.I * E1_phase)

E5_magnitude = 851.6
E5_phase = 0.951  # радиан
E5 = E5_magnitude * sp.exp(sp.I * E5_phase)

E6_magnitude = 806.2
E6_phase = 4.051  # радиан
E6 = E6_magnitude * sp.exp(sp.I * E6_phase)

J3_magnitude = 6.0
J3_phase = 2.356  # радиан
J3 = J3_magnitude * sp.exp(sp.I * J3_phase)

Z_C4 = -sp.I / (omega * C4)
Z_C5 = -sp.I / (omega * C5)
Z_L2 = sp.I * omega * L2

Z4 = R4 + Z_C4
Z5 = R5 + Z_C5
Z6 = R6

print("Импедансы:")
print(f"Z4 = {Z4.evalf()}")
print(f"Z5 = {Z5.evalf()}")
print(f"Z6 = {Z6}")

Z4_plus_Z6 = Z4 + Z6
Z4_times_Z6 = Z4 * Z6
Z46 = Z4_times_Z6 / Z4_plus_Z6

Z_equiv = Z46 + Z5

i4, i5, i6 = sp.symbols('i4 i5 i6', complex=True)
eq1 = sp.Eq(i5, J3)
eq2 = sp.Eq((Z4 + Z6)*i4 - Z6*i5, -E1 - E6)
eq3 = sp.Eq(i6, i4 - i5)

solutions = sp.solve([eq1, eq2, eq3], (i4, i5, i6))

print("\nТоки в узлах:")
print(f"i4 = {solutions[i4].evalf()}")
print(f"i5 = {solutions[i5].evalf()}")
print(f"i6 = {solutions[i6].evalf()}")

Uxx = E5 - Z5 * solutions[i5] - Z4 * solutions[i4]

print("\nКомплексное напряжение Uxx:")
print(f"Uxx = {Uxx.evalf()}")

Z_total = Z_equiv + Z_L2
I_L2 = Uxx / Z_total

print("\nТок через L2 в комплексной форме:")
print(f"I_L2 = {I_L2.evalf()}")

I_L2_magnitude = sp.Abs(I_L2)
I_L2_phase = sp.arg(I_L2)

Uxx_magnitude = sp.Abs(Uxx)
Uxx_phase = sp.arg(Uxx)

print("\nАмплитудно-фазовые значения:")
print(f"|Uxx| = {Uxx_magnitude.evalf()} В")
print(f"φ(Uxx) = {Uxx_phase.evalf()} рад")

print(f"|I_L2| = {I_L2_magnitude.evalf()} А")
print(f"φ(I_L_2) = {I_L2_phase.evalf()} рад")

I_L2_time = I_L2_magnitude*sp.sin(omega*t + I_L2_phase)
Uxx_time = Uxx_magnitude*sp.sin(omega*t + Uxx_phase)

I_L2_time_func = sp.lambdify(t, I_L2_time, 'numpy')
Uxx_time_func = sp.lambdify(t, Uxx_time, 'numpy')

time = np.linspace(0, 0.01, 1000)
I_L2_values = I_L2_time_func(time)
Uxx_values = Uxx_time_func(time)

plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(time, I_L2_values, label='I_L2(t)', color='blue')
plt.xlabel('Время (с)')
plt.ylabel('Ток (А)')
plt.title('Мгновенное значение тока в первичной обмотке трансформатора')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(time, Uxx_values, label='Uxx(t)', color='red')
plt.xlabel('Время (с)')
plt.ylabel('Напряжение (В)')
plt.title('Мгновенное значение напряжения в первичной обмотке трансформатора')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/mgnov_znach.png', dpi=300)
plt.close()

# Пункт 1.3 расчет параметров трансформатора
U1 = 5.0     # В
U2 = 10.0    # В
k = 0.7      # Коэффициент магнитной связи
L_n = 10e-3  # Гн

turns_ratio = U2 / U1
L_p = L_n * turns_ratio**2
L_q = L_p
M_np = k * sp.sqrt(L_n*L_p)
M_nq = M_np

print("\nПараметры трансформатора:")
print(f"L_p = {L_p} Гн")
print(f"L_q = {L_q} Гн")
print(f"M_np = M_nq = {M_np} Гн")

u1 = U1 * sp.sin(omega * t)
u2 = U2 * sp.sin(omega * t)

i_n_expr = sp.integrate(u1/L_n, (t, 0, t))

i_n_expr_simpl = sp.simplify(i_n_expr)

print("\nТок в первичной обмотке:")
sp.pprint(i_n_expr_simpl)	
\end{verbatim}

\section{Код выполнения пункта 2}
\label{app:2.py}

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R1 = 10
R2 = 40
R3 = 10
C_value = 200e-6  # Ф
w = 1000  # угловая частота для мгновенных значений, рад/с

Uent_rms = 5.0
Uent_phase = -0.2444  # радиан

Uent = Uent_rms * np.exp(1j * Uent_phase)

Z_C = 1/(1j * w * C_value)

ZII = (R2*(R3+Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C)
Zent = R1 + ZII

ient = Uent / Zent

UII = ient * ZII

i1 = (Uent - UII) / R1

i2 = UII / R2
i3 = UII / (R3 + Z_C)

Uexit = i3 * (R3 + Z_C)

abs_Uent = np.abs(Uent)
abs_Uexit = np.abs(Uexit)
rel = abs_Uexit / abs_Uent
relang = np.angle(Uexit) - np.angle(Uent)

print("Исходные данные:")
print(f"R1 = {R1} Ом, R2 = {R2} Ом, R3 = {R3} Ом, C = {C_value} Ф")
print(f"w = {w} рад/с")
print(f"U_вх(rms) = {Uent_rms} В, фаза(U_вх) = {Uent_phase} рад")
print("\nРассчитанные импедансы и токи:")
print(f"Z_C = {Z_C} Ом")
print(f"Z_II = {ZII} Ом")
print(f"Z_вх = Z_ent = {Zent} Ом")
print(f"i_вх = i_ent = {ient} А")
print(f"UII = {UII} В")
print(f"i_1 = {i1} А")
print(f"i_2 = {i2} А")
print(f"i_3 = {i3} А")
print("\nВыходное напряжение:")
print(f"U_вых = {Uexit} В")
print(f"|U_вых| = {abs_Uexit} В, фаза(U_вых) = {np.angle(Uexit)} рад")
print("\nОтношение амплитуд:")
print(f"|U_вых|/|U_вх| = {rel}")
print(f"Сдвиг фаз между выходным и входным напряжениями: {relang} рад")

T = 2 * np.pi / w
tt = np.linspace(0, 2*T, 1000)
uent_time = Uent_rms*np.sqrt(2)*np.sin(w*tt + np.angle(Uent))
uexit_time = abs_Uexit*np.sqrt(2)*np.sin(w*tt + np.angle(Uexit))

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(tt, uent_time, label="Входное напряжение $u_{вх}(t)$")
plt.plot(tt, uexit_time, label="Выходное напряжение $u_{вых}(t)$")
plt.xlabel("Время $t$, с")
plt.ylabel("Напряжение, В")
plt.title("Временные диаграммы входного и выходного напряжений")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.savefig('images/vrem_diagrams.png', dpi=300)
plt.close()

def W(s):
    ZC = 1/(s*C_value)
    ZII = (R2*(R3+ZC))/(R2+R3+ZC)
    Zent = R1 + ZII
    return ZII/Zent

www = np.linspace(0.1, 5000, 500)  # частоты от 0.1 до 5000 рад/с
Ww = np.array([W(1j*om) for om in www])
Aw = np.abs(Ww)
Fw = np.angle(Ww)

# АЧХ
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(www, Aw, label="АЧХ")
plt.xlabel("Частота, рад/с")
plt.ylabel("Амплитуда")
plt.title("Амплитудно-частотная характеристика")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig('images/achx.png', dpi=300)
plt.close()

# ФЧХ
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(www, Fw, label="ФЧХ")
plt.xlabel("Частота, рад/с")
plt.ylabel("Фаза, рад")
plt.title("Фазово-частотная характеристика")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.savefig('images/fchx.png', dpi=300)
plt.close()

# Вычисление специальных точек для годографа
w0 = 0.001     # Приближение к нулевой частоте
W0 = W(1j*w0)     
W1000 = W(1j*w) # ω=1000 рад/с
Winf = W(1j*1e6)   # Приближение для очень большой частоты (ω→∞)

print("\nСпециальные точки передаточной функции:")
print(f"W(j0) ≈ W(j{w0}) = {W0}")
print(f"W(j1000) = {W1000}")
print(f"W(j∞) ≈ W(j1e6) = {Winf}")

w0 = 0.001     # Приближение к нулевой частоте
W0 = W(1j*w0)     
W1000 = W(1j*w) # ω=1000 рад/с
Winf = W(1j*1e6)   # Приближение для очень большой частоты (ω→∞)

print("\nСпециальные точки передаточной функции:")
print(f"W(j0) ≈ W(j{w0}) = {W0}")
print(f"W(j1000) = {W1000}")
print(f"W(j∞) ≈ W(j1e6) = {Winf}")

A0, F0 = np.abs(W0), np.angle(W0)
A1000, F1000 = np.abs(W1000), np.angle(W1000)
Ainf, Finf = np.abs(Winf), np.angle(Winf)

# Годограф
plt.figure(figsize=(8,8))
ax = plt.subplot(111, projection='polar')

angles = np.angle(Ww)
magnitudes = np.abs(Ww)
ax.plot(angles, magnitudes, label="Годограф $W(j\omega)$")

# Отметка специальных точек
ax.plot(np.angle(W0), np.abs(W0), 'ro', label=f'ω=0 рад/с')
ax.plot(np.angle(W1000), np.abs(W1000), 'go', label=f'ω={w} рад/с')
W_large = W(1j*1e6)
ax.plot(np.angle(W_large), np.abs(W_large), 'bo', label='ω→∞')

ax.set_title("Годограф передаточной функции $W(j\omega)$", va='bottom')
ax.legend(loc='upper right')

plt.savefig('images/godograf_polar.png', dpi=300)
plt.close()	
\end{verbatim}


\section{Код выполнения пункта 3}
\label{app:3.py}

\begin{verbatim}
import numpy as np

R1 = 10
R2 = 40
R3 = 10
w = 1000  # угловая частота, рад/с
C_value = 200e-6 # Емкость, Ф
Z_C = 1/(1j * w * C_value) # Импеданс конденсатора

Uent = 5 * np.exp(1j * -0.2444)

ZII = (R2 * (R3 + Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C)
Zent = R1 + ZII
print(f"Эквивалентный входной импеданс без индуктивности: Zent = {Zent:.2f} Ω")

Im_Zent = Zent.imag

L = -Im_Zent / w
print(f"Необходимая индуктивность для резонанса: L = {L:.6f} Гн")

ZL = 1j * w * L
Z_total = Zent + ZL
print(f"Общий входной импеданс при резонансе:
 Z_total = {Z_total.real:.2f}+{Z_total.imag:.2f}j Ω")

print(f"Мнимая часть Z_total: {Z_total.imag:.4f} Ω (должна быть ≈ 0)")

ient_resonance = Uent / Z_total
print(f"Входной ток при резонансе: i_ent = {ient_resonance:.4f} A")

R_total = Z_total.real
print(f"Входное сопротивление при резонансе: R_total = {R_total:.2f} Ω")

Q = (w * L) / R_total
print(f"Добротность резонанса Q: {Q:.2f}")

Bandwidth = R_total / L
print(f"Ширина полосы пропускания Δω: {Bandwidth:.2f} рад/с")
\end{verbatim}


\section{Код выполнения подпункта 4.1}
\label{app:4_1.py}

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R1 = 10      # Ом
R2 = 40      # Ом
R3 = 10      # Ом
C = 200e-6   # Ф
U0 = 5       # В
U_c_vyn = 4  # В
p = -277.78  # с^-1

t = np.linspace(-0.01, 0.02, 1000)  # от -10 мс до 20 мс

# Функция Хевисайда
h = np.heaviside(t, 0)

# Переходные характеристики
h_i = (0.02 - 0.0755 * np.exp(p * t)) * h
h_u = (0.8 - 1.2444 * np.exp(p * t)) * h

dh_i_dt = 0.0755 * p * np.exp(p * t) * h
dh_u_dt = 1.2444 * p * np.exp(p * t) * h

plt.figure(figsize=(14, 8))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, h_i, label='Переходная характеристика $h_i(t)$')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$h_i(t)$, А/В')
plt.title('Переходная характеристика для входного тока')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, h_u, label='Переходная характеристика $h_u(t)$', color='red')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$h_u(t)$, В/В')
plt.title('Переходная характеристика для выходного напряжения')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/h_i_h_u.png', dpi=300)

plt.figure(figsize=(14, 8))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, dh_i_dt, label='Импульсная характеристика $k_i(t)$')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$k_i(t)$, А/(В·с)')
plt.title('Импульсная характеристика для входного тока')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, dh_u_dt, label='Импульсная характеристика $k_u(t)$', color='red')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$k_u(t)$, В/(В·с)')
plt.title('Импульсная характеристика для выходного напряжения')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/k_i_k_u.png', dpi=300)	
\end{verbatim}


\section{Код выполнения подпункта 4.2}
\label{app:4_2.py}

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R1 = 10      # Ом
R2 = 40      # Ом
R3 = 10      # Ом
C = 200e-6   # Ф
U0 = 10       # В
omega = 1000 # рад/с
T = 2 * np.pi / omega
tau = C * (R1 * R2 + R1 * R3 + R2 * R3) / (R1 + R2)  # Постоянная времени

t0 = np.pi / omega  # Начинаем с k=1

n_periods = round((3 * tau)/(2 * np.pi / omega))

t_total = []
u_vyh_total = []
i_vh_total = []
u_C_total = []

u_C_prev = 7  # Напряжение на конденсаторе в момент t0
t_prev = t0

for n in range(n_periods * 2):
    t_start = t_prev
    t_end = t_prev + T/2
    t = np.linspace(t_start, t_end, 1000)
    
    if n % 2 == 0:
        U_vh = U0
    else:
        U_vh = -U0 

    u_C_ust = U_vh * R2 / (R1 + R2)

    R_eq = (R1 * R2) / (R1 + R2) +R3 
    tau = C * R_eq
    p = -1 / tau
    
    A = u_C_prev - u_C_ust
    
    u_C = u_C_ust + A * np.exp(p * (t - t_start))
    
    i_3 = C * A * p * np.exp(p * (t - t_start))
    
    u_vyh = u_C + R3 * i_3
    
    i_vh = i_3 + u_vyh / R2
    
    t_total.extend(t)
    u_vyh_total.extend(u_vyh)
    i_vh_total.extend(i_vh)
    u_C_total.extend(u_C)

    print(f"\nИнтервал {n + 1}:")
    print(f" Время от {t_start:.6f} с до {t_end:.6f} с")
    print(f" Входное напряжение U_vh = {U_vh} В")
    print(f" Установившееся напряжение на конденсаторе u_C_ust = {u_C_ust:.4f} В")
    print(f" Коэффициент A = {A:.4f} В")
    print(f" Напряжение на конденсаторе u_C_end = {u_C[-1]:.4f} В")
    print(f" Ток через конденсатор в начале интервала i_3_start = {i_3[0]:.6f} А")
    print(f" Входной ток в начале интервала i_vh_start = {i_vh[0]:.6f} А")
    
    u_C_prev = u_C[-1]
    t_prev = t_end

t_total = np.array(t_total)
u_vyh_total = np.array(u_vyh_total)
i_vh_total = np.array(i_vh_total)

plt.figure(figsize=(14, 8))

plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t_total, u_C_total, label='Напряжение на $U_{c}(t)$')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$U_{c}(t)$, В')
plt.title('Изменение напряжения на конденсаторе за {} пп'.format(n_periods))
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t_total, i_vh_total, label='Входной ток $i_{вх}(t)$')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$i_{вх}(t)$, А')
plt.title('Изменение входного тока за {} полупериодов'.format(n_periods))
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t_total, u_vyh_total, label='$u_{вых}(t)$', color='red')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('$u_{вых}(t)$, В')
plt.title('Изменение выходного напряжения за {} полупериодов'.format(n_periods))
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/4_2.png', dpi=300)
\end{verbatim}


\section{Код выполнения пункта 5}
\label{app:5.py}

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R1 = 10        # Ом
R2 = 40        # Ом
R3 = 10        # Ом
C = 200e-6     # Фарад
U_m = 10       # В
omega = 1000   # рад/с
harmonics = [1, 3, 5]  # Нечетные гармоники до 5-й
tau = C * (R1 * R2 + R1 * R3 + R2 * R3) / (R1 + R2)  # Постоянная времени

n_periods = round((3 * tau)/(2 * np.pi / omega))

def W(s):
    Z_C = 1 / (s * C)
    Z_II = (R2 * (R3 + Z_C)) / (R2 + R3 + Z_C)
    Z_ent = R1 + Z_II
    return Z_II / Z_ent

U_k_vh = {}
for k in harmonics:
    U_k_vh[k] = (4 * U_m) / (k * np.pi)

Z_k_vh = {}
I_k_vh = {}
U_k_vy = {}
phi_k_vy = {}
for k in harmonics:
    w_k = k * omega
    s_k = 1j * w_k
    Z_k_vh[k] = R1 + (R2 * (R3 + 1 / (s_k * C))) / (R2 + R3 + 1 / (s_k * C))
    I_k_vh[k] = U_k_vh[k] / Z_k_vh[k]

    W_k = W(s_k)
    U_k_vy[k] = W_k * U_k_vh[k]
    phi_k_vy[k] = np.angle(U_k_vy[k])

T = 2 * np.pi / omega  # Период фундаментальной гармоники
t = np.linspace(0, T * n_periods, 1000)  # Время на один период

u_vh = np.zeros_like(t)
i_vh = np.zeros_like(t)
u_vy = np.zeros_like(t)

for k in harmonics:
    u_vh += U_k_vh[k] * np.sin(k * omega * t)
    i_vh += np.abs(I_k_vh[k]) * np.sin(k * omega * t + np.angle(I_k_vh[k]))
    u_vy += np.abs(U_k_vy[k]) * np.sin(k * omega * t + phi_k_vy[k])

u4_t = u_vh.copy()

# 5.2. Построение графиков
plt.figure(figsize=(12, 10))

# Входное напряжение u4(t)
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(t, u4_t, label='$u_4(t)$')
plt.ylabel('Напряжение, В')
plt.title('Входное напряжение $u_4(t)$')
plt.grid(True)
plt.legend()

# Входное напряжение u_vh(t)
plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(t, u_vh, label='$u_{вх}(t)$', color='orange')
plt.ylabel('Напряжение, В')
plt.title('Входное напряжение $u_{вх}(t)$')
plt.grid(True)
plt.legend()

# Входной ток i_vh(t)
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(t, i_vh, label='$i_{вх}(t)$', color='green')
plt.ylabel('Ток, А')
plt.title('Входной ток $i_{вх}(t)$')
plt.grid(True)
plt.legend()

# Выходное напряжение u_vy(t)
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(t, u_vy, label='$u_{вых}(t)$', color='red')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('Напряжение, В')
plt.title('Выходное напряжение $u_{вых}(t)$')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/5_2.png', dpi=300)

# 5.3. Определение действующих значений и коэффициентов искажения
U_vh_rms = np.sqrt(sum([(U_k_vh[k])**2 / 2 for k in harmonics]))
I_vh_rms = np.sqrt(sum([(np.abs(I_k_vh[k])**2) / 2 for k in harmonics]))
U_vy_rms = np.sqrt(sum([(np.abs(U_k_vy[k])**2) / 2 for k in harmonics]))

K_U_vh = U_k_vh[1] / U_vh_rms
K_I_vh = np.abs(I_k_vh[1]) / I_vh_rms
K_U_vy = np.abs(U_k_vy[1]) / U_vy_rms

P = U_vh_rms * I_vh_rms * 1

print("Действующие значения:")
print(f"U_вх = {U_vh_rms:.4f} В")
print(f"I_вх = {I_vh_rms:.4f} А")
print(f"U_вых = {U_vy_rms:.4f} В")
print("\nКоэффициенты искажения:")
print(f"K_U_вх = {K_U_vh:.4f}")
print(f"K_I_вх = {K_I_vh:.4f}")
print(f"K_U_вых = {K_U_vy:.4f}")
print(f"\nАктивная мощность P = {P:.4f} Вт")

# 5.4. Замена несинусоидальных кривых эквивалентными синусоидами
u_vh_eq = U_k_vh[1] * np.sin(omega * t)
i_vh_eq = np.abs(I_k_vh[1]) * np.sin(omega * t + np.angle(I_k_vh[1]))
u_vy_eq = np.abs(U_k_vy[1]) * np.sin(omega * t + phi_k_vy[1])

plt.figure(figsize=(12, 10))

# Сравнение u_vh(t) и эквивалентной синусоиды
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, u_vh, label='$u_{вх}(t)$ (несинус.)', color='orange')
plt.plot(t, u_vh_eq, label='$u_{вх}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--')
plt.ylabel('Напряжение, В')
plt.title('Сравнение входного напряжения')
plt.grid(True)
plt.legend()

# Сравнение i_vh(t) и эквивалентного синусоида
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, i_vh, label='$i_{вх}(t)$ (несинус.)', color='green')
plt.plot(t, i_vh_eq, label='$i_{вх}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--')
plt.ylabel('Ток, А')
plt.title('Сравнение входного тока')
plt.grid(True)
plt.legend()

# Сравнение u_vy(t) и эквивалентного синусоида
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, u_vy, label='$u_{вых}(t)$ (несинус.)', color='red')
plt.plot(t, u_vy_eq, label='$u_{вых}^{eq}(t)$ (синус.)', linestyle='--')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('Напряжение, В')
plt.title('Сравнение выходного напряжения')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/5_4.png', dpi=300)
plt.close()	
\end{verbatim}

\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}

\newpage
\section{Список литературы}

\begin{enumerate}
    \item Стрелков Б.В., Шерстняков Ю.Г. \textit{Анализ установившихся и переходных процессов в линейных электрических цепях}. Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.
    \item Попов В.П. \textit{Основы теории цепей}. М.: Высшая школа, 1985.
    \item Нейман Л.Р., Демирчан К.С. \textit{Теоретические основы электротехники: В 2 т. Т. 1}. Л.: Энергоиздат, 1981.
    \item Атабеков Г.И. \textit{Основы теории цепей}. М.: Энергия, 1969.
    \item Бессонов Л.А. \textit{Теоретические основы электротехники. Электрические цепи}. М.: Высшая школа, 1996.
    \item Шебес М.Р. \textit{Задачник по теории линейных электрических цепей}. М.: Высшая школа, 1990.
    \item Масленникова С.И., Аболымов Ю.В. \textit{Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях во временной области}. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.
    \item Плаксин И.И., Смирнов А.В. \textit{Методы анализа разветвленных электрических цепей}. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.
    \item LaTeX по-русски. Доступно онлайн: \url{http://studlab.com/pdf/book/LaTeX-po-russki.pdf}
\end{enumerate}

\end{document}
