\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\sisetup{per-mode=fraction}

\begin{document}

\begin{center}
  \Large\textbf{Расчёт аэродинамических характеристик ромбовидного профиля}\\[6pt]
  \normalsize Вариант №1
\end{center}

\section*{Постановка задачи}

\begin{enumerate}
  \item По заданной высоте определить параметры невозмущённого потока.
  \item Рассчитать параметры потока на гранях~1 и~2, используя теорию косого
        скачка уплотнения.
  \item Рассчитать параметры потока на гранях~3 и~4, используя метод линеаризации.
  \item Определить аэродинамические силы $X$, $Y$ и момент $M_z$ профиля,
        а также его аэродинамические коэффициенты в связанной с профилем
        системе координат $xOy$.
  \item Определить положение центра давления и величину шарнирного момента.
  \item Определить аэродинамические силы $X_a$, $Y_a$ профиля и
        его аэродинамические коэффициенты в потоковой системе координат
        $X_aO_aY_a$.
\end{enumerate}

\section*{Исходные данные}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/Screenshot_19.08.10.png}
    \label{fig:scheme}
\end{figure}

\[
\begin{aligned}
  N &= 1, &
  k &= 1.4, &
  a &= \text{50 мм}, &
  b &= \text{500 мм},\\[4pt]
  \alpha &= 1^\circ + 0.1\cdot1 = 1.1^\circ, &
  l &= \text{1000 мм}, &
  d_1 &= 200 + 5\cdot1 = \text{205 мм},\\[4pt]
  M_\infty &= 2.5+0.1\cdot1 = 2.6, &
  H_\Sigma &= \text{1,2 км}.
\end{aligned}
\]

Для высоты $H=\text{1200 м}$ по ГОСТ~4401–81:
\[
  P_\infty = \text{87718 Па},\quad
  \rho_\infty = \text{1,08999 кг/м$^3$},\quad
  T_\infty = \text{280,351 К},\quad
  a_\infty = \text{338,56 м/с}.
\]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/Screenshot19.08.16.png}
    \label{fig:scheme}
\end{figure}

\section*{Грани 1 и 2 — косой скачок уплотнения}

\subsection*{Грань 1}

Угол установки и угол отклонения потока на грани~1:
\[
  \beta_{\mathrm{кл},1}
    = \arctan\!\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr) - \alpha
    = \arctan\!\Bigl(\tfrac{50}{500}\Bigr) - 1.1^\circ
    = 5.71^\circ - 1.1^\circ
    = 4.61^\circ \;(0.08047\,\text{рад}).
\]

\[
  \theta_c = 26.10^\circ \;(0.4559\,\text{рад}).
\]

Термодинамические параметры за скачком:
\[
\begin{aligned}
  P_1 &= \bigl[1 + \tfrac{2k}{k+1}(M_\infty^2\sin^2\theta_c - 1)\bigr]\,P_\infty
        = \text{119267.7 Па},\\[4pt]
  \rho_1 &= \frac{(k+1)\,M_\infty^2\sin^2\theta_c}
                 {(k-1)\,M_\infty^2\sin^2\theta_c+2}\;\rho_\infty
        = \text{1,3563 кг/м$^3$},\\[4pt]
  T_1 &= \frac{P_1/P_\infty}{\rho_1/\rho_\infty}\;T_\infty
        = \text{306.33 К},\\[4pt]
  a_1 &= \sqrt{k\,R\,T_1}
        = \text{350.83 м/с},\\[4pt]
  V_1 &= M_\infty\,a_\infty
         \,\frac{\cos\theta_c}{\cos(\theta_c-\beta_{\mathrm{кл},1})}
        = \text{849.55 м/с},\\[4pt]
  M_1 &= \frac{V_1}{a_1} = 2.4215.
\end{aligned}
\]

\subsection*{Грань 2}

Угол на грани~2:
\[
  \beta_{\mathrm{кл},2}
    = \arctan\!\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr) + \alpha
    = 5.71^\circ + 1.1^\circ
    = 6.81^\circ \;(0.1189\,\text{рад}).
\]

\medskip

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/Screenshot19.08.44.png}
    \label{fig:scheme}
\end{figure}

\[
  \theta_c = 27.93^\circ \;(0.4874\,\text{рад}).
\]

Параметры за скачком:
\[
\begin{aligned}
  P_2 &= \bigl[1 + \tfrac{2k}{k+1}(M_\infty^2\sin^2\theta_c - 1)\bigr]\,P_\infty
        = \text{137148.7 Па},\\[4pt]
  \rho_2 &= \frac{(k+1)\,M_\infty^2\sin^2\theta_c}
                 {(k-1)\,M_\infty^2\sin^2\theta_c+2}\;\rho_\infty
        = \text{1,4960 кг/м$^3$},\\[4pt]
  T_2 &= \frac{P_2/P_\infty}{\rho_2/\rho_\infty}\;T_\infty
        = \text{319.36 К},\\[4pt]
  a_2 &= \sqrt{k\,R\,T_2}
        = \text{358.22 м/с},\\[4pt]
  V_2 &= M_\infty\,a_\infty
         \,\frac{\cos\theta_c}{\cos(\theta_c-\beta_{\mathrm{кл},2})}
        = \text{833.73 м/с},\\[4pt]
  M_2 &= \frac{V_2}{a_2} = 2.3274.
\end{aligned}
\]

\section*{Грани 3 и 4 — линейзация изгибающей образующей}

Параметры на грани~3:
\[
\begin{aligned}
  \Delta\beta &= 2\,\arctan\tfrac{a}{b}
               = 11.42^\circ\;(0.1994\,\text{рад}),\\
  P_3 &= P_1 - \frac{2\,\Delta\beta}{\sqrt{M_1^2-1}}\;\frac{\rho_1V_1^2}{2}
        = \text{30787.2 Па},\\[4pt]
  V_3 &= V_1 + \frac{P_1-P_3}{\rho_1\,V_1}
        = \text{926.34 м/с},\\[4pt]
  \rho_3 &= \frac{\rho_1\,V_1}{V_3}
           = \text{1,2439 кг/м$^3$},\\[4pt]
  T_3 &= \frac{P_3}{R\,\rho_3}
        = \text{86.24 К},\\[4pt]
  a_3 &= \sqrt{k\,R\,T_3}
        = \text{186.15 м/с},\\[4pt]
  M_3 &= \frac{V_3}{a_3} = 4.9764.
\end{aligned}
\]

Параметры на грани~4:
\[
\begin{aligned}
  \Delta\beta &= -\,2\,\arctan\tfrac{a}{b}
               = -11.42^\circ\;(-0.1994\,\text{рад}),\\
  P_4 &= P_2 - \frac{2\,\Delta\beta}{\sqrt{M_2^2-1}}\;\frac{\rho_2V_2^2}{2}
        = \text{235780.8 Па},\\[4pt]
  V_4 &= V_2 + \frac{P_2-P_4}{\rho_2\,V_2}
        = \text{754.65 м/с},\\[4pt]
  \rho_4 &= \frac{\rho_2\,V_2}{V_4}
           = \text{1,6528 кг/м$^3$},\\[4pt]
  T_4 &= \frac{P_4}{R\,\rho_4}
        = \text{497.06 К},\\[4pt]
  a_4 &= \sqrt{k\,R\,T_4}
        = \text{446.90 м/с},\\[4pt]
  M_4 &= \frac{V_4}{a_4} = 1.6886.
\end{aligned}
\]

\section*{Расчёт аэродинамических сил}

\[
  l = 0.5\,\sqrt{a^2 + b^2} = \text{251.2 мм},
  \quad
  \beta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr) = 5.71^\circ.
\]
Толщина профиля принимается равной 1~м.

\[
\begin{aligned}
  F_1 &= (P_1-P_\infty)\,\times l
        = \text{7926.8 Н},\\
  F_2 &= (P_2-P_\infty)\,\times l
        = \text{12419.3 Н},\\
  F_3 &= (P_3-P_\infty)\,\times l
        = -\text{14303.7 Н},\\
  F_4 &= (P_4-P_\infty)\,\times l
        = \text{37200.3 Н}.
\end{aligned}
\]

Подъёмная сила и лобовое сопротивление:
\[
\begin{aligned}
  Y_\Sigma &= (F_2+F_4 - F_1 - F_3)\cos\beta
            = \text{55718.7 Н},\\
  X_\Sigma &= (F_1+F_2 - F_3 - F_4)\sin\beta
            = -\text{253.8 Н}.
\end{aligned}
\]

\section*{Аэродинамические коэффициенты}

Динамическое давление:
\[
  V_\infty = M_\infty\,a_\infty = \text{880.256 м/с},\quad
  q_\infty = \tfrac12\,\rho_\infty\,V_\infty^2
           = \text{422290 Па},\quad
  S_{\mathrm{оп}} = \text{1 м$^2$}.
\]
\[
\begin{aligned}
  C_{Y,\mathrm{оп}} &= \frac{Y_\Sigma}{q_\infty S_{\mathrm{оп}}}
                     = 0.13194,\\
  C_{X,\mathrm{оп}} &= \frac{X_\Sigma}{q_\infty S_{\mathrm{оп}}}
                     = -6.01\times10^{-4}.
\end{aligned}
\]

\section*{Момент и центр давления}

\[
  M_A = (F_2 - F_1)\,\frac{l}{2}
        + (F_4 - F_3)\,\Bigl(\tfrac{3b}{4}\cos\beta
                         - \tfrac{a}{4}\sin\beta\Bigr)
      = \text{1.9735e4 Н·м}.
\]
Коэффициент момента
\[
  m_z = \frac{M_A}{q_\infty\,S_{\mathrm{оп}}\,l}
      = \frac{1.9735\times10^4}{422290\cdot1\cdot1}
      = 0.0468.
\]
Координата центра давления:
\[
  \frac{x_{\mathrm{ц.д.}}}{b}
    = \frac{m_z}{C_{Y,\mathrm{оп}}}
    = \frac{0.0468}{0.13194}
    = 0.3545,
  \quad
  x_{\mathrm{ц.д.}} = 0.3545\,b = \text{177.3 мм}.
\]
Шарнирный момент (точка A на расстоянии $d_1=\text{205 мм}$):
\[
  M_{\mathrm{ш}} = Y_\Sigma\,(x_{\mathrm{ц.д.}} - d_1)
                 = -\text{1546 Н·м}.
\]

\section*{Аэродинамические силы в потоковой системе координат}

\[
\begin{aligned}
  C'_{Y_a}
    &= C_{X,\mathrm{оп}}\cos\alpha
      + C_{Y,\mathrm{оп}}\sin\alpha
    = 0.001933,\\
  C'_{X_a}
    &= C_{X,\mathrm{оп}}\sin\alpha
      - C_{Y,\mathrm{оп}}\cos\alpha
    = -0.131931,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
  Y_a &= C'_{Y_a}\,q_\infty\,S_{\mathrm{оп}}
       = \text{816.7 Н},\\
  X_a &= C'_{X_a}\,q_\infty\,S_{\mathrm{оп}}
       = -\text{55773 Н}.
\end{aligned}
\]

\end{document}