\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}      
\usepackage{caption}       
\usepackage{float}  
\usepackage{titlesec}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{newtxtext,newtxmath}

\linespread{1.3}
\frenchspacing
\setlength{\parindent}{1.25cm}
\setlength{\parskip}{0pt}

\begin{document}

\pagenumbering{gobble}
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\section{Цель работы}

Целью второй лабораторной работы является исследование способов преобразования структурных схем систем автоматического управления (САУ) в эквивалентную передаточную функцию двумя методами:
\begin{enumerate}
    \item Непосредственно используя правила преобразования структурных схем (применение основных формул свёртки звеньев, переноса точек разветвления и сумматоров).
    \item Применяя представление САУ в виде сигнального графа и используя формулу Мейсона для получения эквивалентной передаточной функции.
\end{enumerate}

\section*{Краткие теоретические сведения}

В ходе решения задач анализа и синтеза систем автоматического управления часто возникает необходимость перехода от заданной структурной схемы к её эквивалентному представлению в виде передаточной функции. Такая процедура упрощает исследование динамических свойств системы.

\subsection*{Преобразование структурной схемы}
Структурная схема САУ представляет собой набор динамических звеньев, соединённых между собой линиями передачи сигналов. Каждый блок (звено) имеет вход и выход, а также передаточную функцию $W(s)$, характеризующую преобразование входного сигнала в выходной.

Для упрощения структурных схем используются типовые приёмы преобразований:
\begin{itemize}
    \item {\bfseries Последовательное соединение звеньев}: эквивалентная передаточная функция равна произведению передаточных функций звеньев.
    \item {\bfseries Параллельное соединение звеньев}: эквивалентная передаточная функция равна сумме передаточных функций звеньев.
    \item {\bfseries Обратная связь}: эквивалентная передаточная функция рассчитывается с помощью соотношения
    \[
      W_{\mathrm{экв}}(s) \;=\; \frac{W_1(s)}{1 \pm W_1(s)\,W_2(s)},
    \]
    где знак в знаменателе определяется типом обратной связи (положительная или отрицательная).
    \item {\bfseries Перенос сумматора и точек разветвления}: используется для перекоммутации блоков, упрощения структуры и выделения типовых соединений.
\end{itemize}

\subsection*{Метод сигнального графа и формула Мейсона}
Альтернативный подход к преобразованию структурных схем основан на представлении системы в виде сигнального графа. Узлы графа соответствуют переменным системы, а направленные рёбра (ветви) описывают передачу сигналов (динамические звенья). Для определения эквивалентной передаточной функции $W_{\mathrm{экв}}(s)$ используют формулу Мейсона:
\[
    W_{\mathrm{экв}}(s) \;=\;
    \frac{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{N} P_i \,\Delta_i}{\Delta},
\]
где:
\begin{itemize}
    \item $P_i$~--- передаточный коэффициент $i$-го пути от входа к выходу,
    \item $\Delta$~--- определитель графа (учитывает все контуры и их сочетания),
    \item $\Delta_i$~--- дополнительный множитель для $i$-го пути (определитель графа без контуров, пересекающихся с данным путём),
    \item $N$~--- общее число путей от входа к выходу.
\end{itemize}

\section{Преобразование структурной схемы по формуле Мейсона}

\begin{align*}
e_1 &= u - e_3 \\
e_2 &= (u - e_3) W_1 \\
e_3 &= uW_3 + e_2 - y = uW_3 + (u - e_3)W_1 - y \\
e_3(1 + W_1) &= uW_3 + uW_1 - y \\
e_3 &= \frac{uW_3 + uW_1 - y}{1 + W_1} \\
y &= e_3 W_2 = \frac{uW_3 + uW_1 - y}{1 + W_1} W_2 \\
y(1 + W_1) &= uW_3 W_2 + uW_1 W_2 - yW_2 \\
y(1 + W_1 + W_2) &= u(W_3 W_2 + W_1 W_2) \\
\\
W_{\text{общ}} = \frac{y}{u} &= \frac{W_3 W_2 + W_1 W_2}{1 + W_1 + W_2}
\end{align*}


\section{Пошаговое преобразование структурной схемы}

\subsection*{Шаг 1: Исходная схема}

На первом этапе представлена исходная схема. Для упрощения структуры осуществляется перенос узла вперёд за блок, а также замена положений узлов для удобства последующих свёрток.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d1.png}
    \caption{Исходная схема и первый перенос узла}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 2: Разделение сумматора}

Сумматор с тремя входами разбивается на два последовательно соединённых сумматора с двумя входами каждый.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d2.png}
    \caption{Разделение сумматора}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 3: Устранение обратной связи}

Применяется правило преобразования отрицательной обратной связи. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d3.png}
    \caption{Ликвидация отрицательной обратной связи}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 4: Перенос сумматора и перестановка}

Сумматор переносится назад за блок, меняется местоположение двух сумматоров для получения формы, удобной для свёртки.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d4.png}
    \caption{Перенос сумматора назад и перестановка}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 5: Свёртка последовательных блоков}

Выполняется свёртка двух последовательно соединённых блоков. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d5.png}
    \caption{Ликвидация последовательного соединения блоков}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 6: Параллельная свёртка и обратная связь}

Проводится свёртка параллельных блоков и устраняется ещё одна отрицательная обратная связь.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d6.png}
    \caption{Ликвидация параллельного соединения и обратной связи}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 7: Финальная последовательная свёртка}

Финальное соединение блоков в последовательной цепи.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/d7.png}
    \caption{Финальная свёртка последовательных блоков}
\end{figure}

\subsection*{Шаг 8: Полученная преобразованная схема}

Результат всех преобразований — эквивалентная структурная схема, готовая для анализа или определения передаточной функции.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/d8.png}
    \caption{Итоговая эквивалентная схема}
\end{figure}

\section*{Преобразование выражения для $W_{\text{общ}}$}

Исходное выражение:
\[
W_{\text{общ}} = W_3'' W_1'' = (W_3' + 1) \cdot \frac{W_1'}{1 + \dfrac{W_1'}{W_2}}
\]

Подставим:
\[
W_3' = \frac{W_3}{W_1}, \qquad W_1' = \frac{W_1 W_2}{1 + W_2}
\]

Подставим в формулу:
\[
W_{\text{общ}} = \left( \frac{W_3}{W_1} + 1 \right) \cdot
\frac{\dfrac{W_1 W_2}{1 + W_2}}{1 + \dfrac{\dfrac{W_1 W_2}{1 + W_2}}{W_2}}
\]

Упростим знаменатель:
\[
1 + \frac{\dfrac{W_1 W_2}{1 + W_2}}{W_2} =
1 + \frac{W_1}{1 + W_2} =
\frac{1 + W_2 + W_1}{1 + W_2}
\]

Теперь упрощаем всё выражение:
\[
W_{\text{общ}} =
\left( \frac{W_3}{W_1} + 1 \right) \cdot
\frac{W_1 W_2}{1 + W_1 + W_2}
=
\frac{(W_3 + W_1) W_2}{1 + W_1 + W_2}
\]

\subsection*{Окончательный результат:}
\[
W_{\text{общ}} = \frac{W_3 W_2 + W_1 W_2}{1 + W_1 + W_2}
\]

\section{Моделирование в Simulink}

\subsection*{Исходная схема в Simulink}

Исходная структурная схема была собрана в среде \texttt{Simulink} на основе первоначального варианта, без выполнения преобразований. Это позволило сравнить поведение исходной и преобразованной схем для различных входных воздействий.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/simulink_initial_model.png}
    \caption{Исходная схема в Simulink}
\end{figure}

\subsection*{Сравнение реакций систем на ступеньчатое и импульсное воздействия}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/step_response_comparison.png}
    \caption{Сравнение выходов начальной и преобразованной систем на ступень}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/impulse_response_comparison.png}
    \caption{Сравнение выходов начальной и преобразованной систем на импульс}
\end{figure}

\textbf{Вывод:} Результаты моделирования показали полное совпадение откликов начальной и преобразованной систем при подаче обоих сигналов. Графики накладываются друг на друга по всем точкам, что подтверждает эквивалентность структур. Таким образом, аналитически найденная передаточная функция верно описывает поведение исходной схемы.

\end{document}