\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}      
\usepackage{caption}       
\usepackage{float}  
\usepackage{titlesec}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{newtxtext,newtxmath}
\usepackage{tabularx, booktabs}

\linespread{1.3}
\frenchspacing
\setlength{\parindent}{1.25cm}
\setlength{\parskip}{0pt}

\begin{document}

\textbf{Цель:} Выполнить исследование устойчивости замкнутой САУ по заданной передаточной функции разомкнутой системы по критериям Гурвица, Найквиста, ЛАФЧХ.

\section*{Теоретическая часть}

Устойчивость САУ является одним из основных условий её работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов. Система считается устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также ограничен. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействиям и возвращается в состояние равновесия. При наличии расходящегося переходного процесса система считается неустойчивой и неработоспособной.

Критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные. К алгебраическим относится критерий Гурвица, к частотным — критерий Найквиста.

\subsection*{Критерий Гурвица}

Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:
\[
a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 p + a_0 = 0.
\]

Из коэффициентов этого уравнения составляется матрица Гурвица:
\[
H = 
\begin{bmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots & 0 \\
a_n     & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots & 0 \\
0       & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & 0 \\
0       & a_n     & a_{n-2} & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
\end{bmatrix}
\]

Условие устойчивости: все главные угловые миноры этой матрицы положительны:
\[
\Delta_1 = a_{n-1}, \quad
\Delta_2 = 
\begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} \\
a_n     & a_{n-2}
\end{vmatrix}, \quad
\Delta_3 =
\begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\
a_n     & a_{n-2} & a_{n-4} \\
0       & a_n     & a_{n-2}
\end{vmatrix}, \quad \dots
\]

\subsection*{Критерий Найквиста}

Частотный критерий устойчивости анализирует АФЧХ разомкнутой системы:
\[
W(j\omega) = P(\omega) + jQ(\omega).
\]

Построив годограф Найквиста на комплексной плоскости, исследуем его охват точки $(-1, j0)$. Основные положения:
\begin{itemize}
    \item Если система устойчива, годограф не должен охватывать $(-1, j0)$.
    \item Если у разомкнутой системы $n$ полюсов в правой полуплоскости, то годограф должен охватить точку $(-1, j0)$ $n$ раз по часовой стрелке.
\end{itemize}

\textbf{Физический смысл:} при фазовом сдвиге более $180^\circ$ и усилении больше 1 система становится неустойчивой.


\section*{Практическая часть}

\subsection*{Передаточная функция разомкнутой системы}

\[
W(s) = \frac{2}{s^4 + 5s^3 + 5s^2 + 3s + 1}
\]

\subsection*{Проверка на устойчивость по критерию Гурвица}

\[
W_{\text{замк}}(s) = \frac{2}{s^4 + 5s^3 + 5s^2 + 3s + 3}
\]

Характеристическое уравнение:
\[
s^4 + 5s^3 + 5s^2 + 3s + 3 = 0
\]

Матрица Гурвица:
\[
H =
\begin{bmatrix}
5 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 3 & 0 \\
0 & 5 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 5 & 3
\end{bmatrix}
\]

Определители:
\[
\Delta_1 = 5, \quad \Delta_2 = 22, \quad \Delta_3 = -9, \quad \Delta_4 = -27
\]

\textbf{Вывод:} не все определители положительны, следовательно, система \textbf{неустойчива} по критерию Гурвица.

\subsection*{Проверка устойчивости по критерию Найквиста}

Найдены полюса системы:
\[
\begin{aligned}
&-3.8978 + 0.0001i \\
&-0.6311 + 0.0000i \\
&-0.2356 + 0.5925i \\
&-0.2356 - 0.5925i
\end{aligned}
\]

Ни один из полюсов не находится в правой полуплоскости. Следовательно, годограф не должен охватывать $(-1, j0)$.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/nyquist.png}
\caption{Годограф Найквиста исследуемой системы}
\end{figure}

\textbf{Вывод:} система охватывает точку $(-1, j0)$, следовательно, \textbf{неустойчива} по Найквисту.

\subsection*{Критерий по ЛАФЧХ}

Если при пересечении амплитудной характеристики нуля фаза меньше $-180^\circ$, то система неустойчива.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/bode.png}
\caption{ЛАФЧХ системы}
\end{figure}

\textbf{Вывод:} при пересечении амплитудной характеристики нуля, фаза составляет $-188^\circ$. Система \textbf{неустойчива}. Отрицательный запас устойчивости.

\subsection*{Переходная характеристика системы}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/step.png}
\caption{Переходная характеристика замкнутой системы}
\end{figure}

Из графика переходного процесса видно, что система \textbf{неустойчива}.

\section*{Заключение}

Проверка по критериям Гурвица, Найквиста, ЛАФЧХ и переходная характеристика показала, что исследуемая система \textbf{неустойчива}.

\end{document}