\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}      
\usepackage{caption}       
\usepackage{float}  
\usepackage{titlesec}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{newtxtext,newtxmath}
\usepackage{tabularx, booktabs}

\linespread{1.3}
\frenchspacing
\setlength{\parindent}{1.25cm}
\setlength{\parskip}{0pt}

\begin{document}
% ------------------------------------------------------------
% Цель работы
% ------------------------------------------------------------
\section*{Цель работы}
Построить корневой годограф (КГ) в соответствии с заданным вариантом при помощи графического интерфейса \texttt{sisotool}. Исследовать динамику замкнутой системы при различных значениях коэффициента усиления разомкнутой системы~$K$, в том числе определить запасы устойчивости в частотной области.

% ------------------------------------------------------------
% Теоретическая часть
% ------------------------------------------------------------
\section*{Теоретическая часть}
Рассмотрим разомкнутую систему с передаточной функцией
\[ W_{\text{рзк}}(s)=K\,\frac{N(s)}{D(s)}. \]

Характеристическое уравнение при отрицательной обратной связи имеет вид
\[ 1+K\,\frac{N(s)}{D(s)} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad D(s)+K\,N(s)=0. \tag{1}\]

При $K=0$ корни уравнения~(1) совпадают с полюсами разомкнутой системы, а при $K\to\infty$~— с её нулями. По мере изменения $K$ от~0 до~$\infty$ траектории корней начинаются в полюсах и заканчиваются в нулях. Если полюсов больше, чем нулей, то $n-m$ ветвей КГ уходят в бесконечность.

Уравнение~(1) называют основным уравнением метода корневого годографа.

% ------------------------------------------------------------
% Практическая часть
% ------------------------------------------------------------
\section*{Практическая часть}

\subsection*{Исходные данные}
Передаточная функция разомкнутой системы для варианта~1:\\[0.25cm]
\centerline{\fbox{\parbox{0.8\linewidth}{
  \centering
  % ------------------------------------------------------
  % TODO: Замените выражение ниже на фактическую передаточную
  % функцию из отчёта (формула в PDF не распозналась).       
  % ------------------------------------------------------
  $W(s)=\displaystyle K\,\frac{(s+a)(s+b)}{s\,(s+c)(s+d)}$
}}}
\\[0.5cm]

\begin{table}[H]
    \centering
    \caption{Ключевые точки корневого годографа}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l X @{}}
        \toprule
        Значение $K$ & Характеристика системы \\ \midrule
        1      & Корни в левой полуплоскости, мнимых корней нет — система устойчива.\\
        1{,}48 & Появляются мнимые корни, но они в левой полуплоскости — система устойчива.\\
        20     & Корни на мнимой оси — граница устойчивости.\\
        21     & При $K>20$ система становится неустойчивой.\\
        \bottomrule
    \end{tabularx}
\end{table}

\subsection*{Графические результаты}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig1_root_locus.png}
    \caption{Корневой годограф замкнутой системы при $K$ от~0 до~$\infty$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig2_K1_poles.png}
    \caption{Расположение корней при $K=1$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig3_K1_step.png}
    \caption{Переходная характеристика системы при $K=1$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig4_K1_48_root_locus.png}
    \caption{Фрагмент КГ при $K=1{,}48$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig5_K20_border.png}
    \caption{Система на границе устойчивости ($K=20$)}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig6_K20_step.png}
    \caption{Переходная характеристика при $K=20$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig7_K21_poles.png}
    \caption{Расположение корней при $K=21$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig8_K21_step.png}
    \caption{Переходная характеристика при $K=21$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig9_margin_K1.png}
    \caption{Запасы устойчивости при $K=1$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig10_margin_K20.png}
    \caption{Запасы устойчивости при $K=20$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{figures/fig11_margin_K21.png}
    \caption{Запасы устойчивости при $K>20$}
\end{figure}

\subsection*{Анализ запасов устойчивости}
\begin{itemize}
    \item $K = 1$: запас устойчивости по фазе~$78{,}7^{\circ}$, по амплитуде 26~дБ.
    \item $K = 18$: запас устойчивости по фазе~$10^{\circ}$, по амплитуде 3~дБ.
    \item $K > 20$: запас устойчивости по фазе~$-23^{\circ}$, по амплитуде $-8$~дБ — отрицательные значения, система неустойчива.
\end{itemize}

% ------------------------------------------------------------
% Выводы
% ------------------------------------------------------------
\section*{Выводы}
Система устойчива при $K>0$, пока отсутствуют мнимые корни. При $K\approx1{,}46$ появляются комплексно‑сопряжённые корни, однако устойчивость сохраняется до $K<21$. Значение $K=20$ соответствует границе устойчивости; при дальнейшем увеличении коэффициента усиления система становится неустойчивой.

\end{document}
