\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\begin{document}

\section*{Условие задачи}

Для линейной системы c отрицательной обратной связью заданы передаточные функции звеньев для схемы №2
\[
  W_{1}(s)=\frac{40}{5s+1}, 
  \qquad
  W_{2}(s)=\frac{0.5}{0.16s^{2}+0.8s+1}.
\]

\section*{Решение}

\subsection*{1. Разомкнутый контур}

Разомкнутая (петлевая) передаточная функция — произведение \(W_1(s)\) и
\(W_2(s)\):
\[
  W_{p}(s)=W_{1}(s)W_{2}(s)
          =\frac{40}{5s+1}\;
           \frac{0.5}{0.16s^{2}+0.8s+1}
          =\frac{20}{(5s+1)\bigl(0.16s^{2}+0.8s+1\bigr)} .
\]

\noindent
Перемножая знаменатели и упорядочивая степени \(s\),
\[
  (5s+1)\bigl(0.16s^{2}+0.8s+1\bigr)=0.8s^{3}+4.16s^{2}+5.8s+1.
\]

\noindent
Делим числитель и знаменатель на \(0.8\) для нормализации старшего коэффициента:
\[
  W_{p}(s)=\boxed{\displaystyle
    \frac{25}{\,s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}}.
\]

%----------------------------------------------------------------------
\subsection*{2. Замкнутый контур}

Для структуры с отрицательной обратной связью
\[
  \Phi(s)=\frac{W_{1}(s)}{1+W_{p}(s)}.
\]

Подставим $W_{1}(s)$ и найденный $W_{p}(s)$:
\[
  \Phi(s)=
  \frac{\dfrac{40}{5s+1}}
       {1+\dfrac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}}
  =\frac{40\!\bigl(s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25\bigr)}
        {(5s+1)\bigl(s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+26.25\bigr)} .
\]

\noindent
Раскрывая скобки и группируя коэффициенты, получаем
\[
  \Phi(s)=\frac{32s^{3}+166.4s^{2}+232s+40}
               {4s^{4}+21.6s^{3}+33.16s^{2}+110.8s+21}.
\]

\noindent
Нормируем (делим обе части на 4), чтобы коэффициент при \(s^{4}\)
в знаменателе был равен 1:
\[
  \boxed{\displaystyle
    \Phi(s)=\frac{8s^{3}+41.6s^{2}+58s+10}
                 {\,s^{4}+5.4s^{3}+8.29s^{2}+27.7s+5.25}}.
\]

\bigskip
Полученные выражения пригодны для дальнейшего анализа устойчивости, синтеза
регуляторов или построения частотных характеристик.


%----------------------------------------------------------
\subsection*{Анализ устойчивости по критерию Гурвица}
Характеристический многочлен замкнутой системы  
(знаменатель найденной передаточной функции)
\[
  D(s)=s^{4}+5.4\,s^{3}+8.29\,s^{2}+27.7\,s+5.25 .
\]

\paragraph{Матрица Гурвица.}
Для полинома четвёртого порядка  
\(D(s)=a_{0}s^{4}+a_{1}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{3}s+a_{4}\)
с коэффициентами  

\[
a_{0}=1,\;
a_{1}=5.4,\;
a_{2}=8.29,\;
a_{3}=27.7,\;
a_{4}=5.25,
\]

матрица Гурвица имеет вид
\[
H=
\begin{pmatrix}
a_{1} & a_{3} & 0     & 0 \\
a_{0} & a_{2} & a_{4} & 0 \\
0     & a_{1} & a_{3} & 0 \\
0     & a_{0} & a_{2} & a_{4}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5.4 & 27.7 & 0    & 0 \\
1   & 8.29 & 5.25 & 0 \\
0   & 5.4  & 27.7 & 0 \\
0   & 1    & 8.29 & 5.25
\end{pmatrix}.
\]

\paragraph{Главные миноры.}
Критерий Гурвица требует, чтобы все главные
угловые миноры \(\Delta_{k}=\det H_{k}\) (первые \(k\times k\) подматрицы)
были положительны.

\[
\begin{aligned}
\Delta_{1}&=\det
\begin{pmatrix}5.4\end{pmatrix}=5.4>0,\\[4pt]
\Delta_{2}&=\det
\begin{pmatrix}
5.4 & 27.7\\
1   & 8.29
\end{pmatrix}=17.066>0,\\[6pt]
\Delta_{3}&=\det
\begin{pmatrix}
5.4 & 27.7 & 0\\
1   & 8.29 & 5.25\\
0   & 5.4  & 27.7
\end{pmatrix}=319.6382>0,\\[10pt]
\Delta_{4}&=\det H=1678.10055>0.
\end{aligned}
\]

\paragraph{Вывод.}
Все главные миноры положительны,
следовательно, полином \(D(s)\) удовлетворяет
критерию Гурвица, а значит,

\[
\boxed{\text{замкнутая система асимптотически устойчива.}}
\]

%----------------------------------------------------------
\subsection*{Анализ устойчивости по критерию Михайлова}

Характеристический многочлен замкнутой системы  
\[
  D(s)=s^{4}+5.4\,s^{3}+8.29\,s^{2}+27.7\,s+5.25
\]
рассматриваем на мнимой оси: \(s=j\omega\;( \omega\ge 0)\).

\paragraph{Разделим на вещественную и мнимую части.}
\[
\begin{aligned}
  D(j\omega)&=(j\omega)^{4}+5.4\,(j\omega)^{3}+8.29\,(j\omega)^{2}
              +27.7\,(j\omega)+5.25 \\[4pt]
            &=\bigl(\omega^{4}-8.29\,\omega^{2}+5.25\bigr)
              +j\bigl(-5.4\,\omega^{3}+27.7\,\omega\bigr)\\
            &=P(\omega)+j\,Q(\omega),
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{%
\begin{aligned}
  P(\omega) &= \omega^{4}-8.29\,\omega^{2}+5.25,\\
  Q(\omega) &= \omega\bigl(-5.4\,\omega^{2}+27.7\bigr).
\end{aligned}}
\]

\paragraph{Нули \(P(\omega)\) и \(Q(\omega)\).}
\[
\begin{aligned}
  Q(\omega)=0 &\;\Longrightarrow\; \omega=0,\;
  \omega^{2}=\tfrac{27.7}{5.4}\approx5.130
              \;\Longrightarrow\; \omega_{Q}=2.266;\\[4pt]
  P(\omega)=0 &\;\Longrightarrow\; 
       \omega^{2}_{1,2}=
       \frac{8.29\pm\sqrt{8.29^{2}-4\cdot5.25}}{2}
       =\{0.6905,\;7.5995\},\\
       &\qquad\qquad\qquad\qquad\;
       \omega_{P1}=0.831,\; \omega_{P2}=2.756 .
\end{aligned}
\]

\paragraph{Знаки $P$ и $Q$ между узловыми точками.}

\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Интервал по }\omega & P(\omega) & Q(\omega) \\ \hline
(0,\,0.831)     & + & + \\ \hline
(0.831,\,2.266) & - & + \\ \hline
(2.266,\,2.756) & - & - \\ \hline
(2.756,\,\infty)& + & - \\ 
\end{array}
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=1\textwidth]{mikhailov.png}
  \caption{Кривая Михайлова для характеристического многочлена
           $D(s)=s^{4}+5.4s^{3}+8.29s^{2}+27.7s+5.25$.}
\end{figure}

\paragraph{Траектория $D(j\omega)$ (кривая Михайлова).}
При $\omega=0$: $D(j0)=5.25$ ― точка на положительной действительной оси  
(аргумент $0^{+}$).

\begin{enumerate}
\item $\omega$ растёт до $\omega_{P1}=0.831$  
      \(P\) меняет знак $+ \to -$ (пересечение мнимой оси вниз),  
      аргумент убывает на $\tfrac{\pi}{2}$.
\item До $\omega_{Q}=2.266$ \(Q>0\), затем $Q$ меняет знак $+\to-$  
      (пересечение действительной оси), ещё $-\tfrac{\pi}{2}$.
\item В точке $\omega_{P2}=2.756$ \(P\) меняет знак $-\to+$  
      (ещё одно пересечение мнимой оси вниз), ещё $-\tfrac{\pi}{2}$.
\item При $\omega\to\infty$:  
      \(P\to+\infty,\; Q\to-\infty\), вектор приближается к положительной
      действительной оси снизу (аргумент $0^{-}$).  
      Последняя потеря аргумента ещё на $-\tfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}

Суммарное изменение аргумента:
\[
\Delta\arg D(j\omega)\big|_{\omega=0}^{\omega\to\infty}
     =-4\cdot\frac{\pi}{2}=-2\pi,
\]
что и должно быть для полинома четвёртого порядка с положительным
старшим коэффициентом.

\paragraph{Вывод.}
Кривая Михайлова проходит через все четыре квадранта, совершая
полный поворот на $-2\pi$ по часовой стрелке, следовательно  

\[
\boxed{\text{система удовлетворяет критерию Михайлова и устойчива.}}
\]

\subsection*{Анализ устойчивости по критерию Найквиста–Михайлова}

\paragraph{Разомкнутая функция.}
Для Найквист-анализа используем разомкнутую передаточную функцию
\[
  W_{p}(s)=\frac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}.
\]

\paragraph{Подстановка $s=j\omega$.}
\[
\begin{aligned}
  W_{p}(j\omega)
      &=\frac{25}
             {(j\omega)^{3}+5.2\,(j\omega)^{2}+7.25\,(j\omega)+1.25}\\[4pt]
      &=\frac{25}{\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)
                  +j\bigl(\omega^{3}+7.25\,\omega\bigr)}.
\end{aligned}
\]

\noindent
Разделим на действительную и мнимую части
\[
\boxed{%
\begin{aligned}
  \operatorname{Re}W_{p}(j\omega)
      &=\dfrac{25\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)}
               {\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)^{2}
                +\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)^{2}},\\[6pt]
  \operatorname{Im}W_{p}(j\omega)
      &=-\dfrac{25\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)}
                {\bigl(1.25-5.2\omega^{2}\bigr)^{2}
                 +\bigl(\omega^{3}+7.25\omega\bigr)^{2}}.
\end{aligned}}
\]

\paragraph{Ключевые точки траектории.}
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{array}{l|c|c}
\omega\;(\text{рад/с}) & W_{p}(j\omega)=\operatorname{Re}+j\,\operatorname{Im}
                              & \text{Замечание}\\ \hline
0 & 20+0j & \text{старт на } +\operatorname{Re} \\ \hline
1.06 & -1.81-2.56j & \text{минимум }\operatorname{Re} \;(\text{левее }-1)\\ \hline
2.70 & -0.68+0j & \text{точка близка к пересечению
                   действительной оси} \\ \hline
\omega\!\to\!\infty & 0^{-}+0^{-}j & \text{асимптота к началу координат}\\
\end{array}
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=0.65\textwidth]{nyquist_zoom.png}
  \caption{Участок диаграммы Найквиста для $W_{p}(j\omega)$
           (красная точка~— $-1+0j$).}
\end{figure}

Кривая Найквиста для $W_{p}(j\omega)$ проходит \emph{правее} критической
точки и не охватывает её, поэтому система считается устойчивой.
\[
\boxed{\text{Система удовлетворяет критерию Найквиста–Михайлова
        и устойчива.}}
\]


\section*{Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ)}

Передаточная функция разомкнутого контура  
(результат предыдущих вычислений)
\[
  W_{p}(s)=\frac{25}{s^{3}+5.2s^{2}+7.25s+1.25}.
\]

\end{document}
