\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{float}
\sisetup{scientific-notation = false}

\begin{document}
\begin{center}
\Large\textbf{Оптический метод расчёта параметров потока за скачком уплотнения при обтекании ЛА}\\[4pt]
\normalsize При $\theta_{\text{ск}1}=90^{\circ}$, $\theta_{\text{ск}2}=65^{\circ}$, $\theta_{\text{ск}3}=35^{\circ}$
\end{center}

\section*{Исходные данные}
\begin{align*}
  P_{0\infty} &= 3{,}2\,\text{атм} = 3{,}2 \cdot 101{,}325 = \boxed{3{,}242 \cdot 10^{5}\;\text{Па}}\\
  T_{0\infty} &= \boxed{265\;\text{К}}\\
  M_{\infty} &= \boxed{3{,}3}\\
  k &= 1{,}4\\
  R &= \boxed{287\;\text{Дж}\cdot\text{кг}^{-1}\cdot\text{К}^{-1}}
\end{align*}

\section*{1. Параметры невозмущённого потока $(\infty)$}

\subsection*{1.1~Газодинамические функции}
\begin{align*}
\pi(M) &= \left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-k/(k-1)}\\
\varepsilon(M)& = \left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-1/(k-1)}\\
\tau(M) &= \left(1+\frac{k-1}{2}M^{2}\right)^{-1}
\end{align*}

\begin{align*}
1+\frac{k-1}{2}M_{\infty}^{2} &= 1+0.2\,3.3^{2}=\boxed{3.178},\\
\pi(M_{\infty}) &= 3.178^{-3.5}=\boxed{1.746\cdot10^{-2}},\\
\varepsilon(M_{\infty}) &= 3.178^{-2.5}=\boxed{5.553\cdot10^{-2}},\\
\tau(M_{\infty}) &= 3.178^{-1}=\boxed{3.140\cdot10^{-1}}.
\end{align*}

\subsection*{1.2~Статические параметры}
\begin{align*}
\rho_{0\infty} &= \frac{P_{0\infty}}{R T_{0\infty}} = \frac{3.242\cdot10^{5}}{287\cdot265} = \boxed{4.263},\\[4pt]
P_{\infty} &= P_{0\infty}\pi = 3.242\cdot10^{5}\cdot1.746\cdot10^{-2}=\boxed{5.667\cdot10^{3}}\;\text{Па},\\[4pt]
\rho_{\infty} &= \rho_{0\infty}\varepsilon = 4.263\cdot5.553\cdot10^{-2}=\boxed{0.237},\\[4pt]
T_{\infty} &= T_{0\infty}\tau = 265\cdot3.140\cdot10^{-1}=\boxed{83.386}\;\text{К},\\[4pt]
a_{\infty} &= \sqrt{kRT_{\infty}} = \sqrt{1.4\cdot287\cdot83.386}=\boxed{183.042}\;\text{м/с},\\[4pt]
V_{\infty} &= M_{\infty}a_{\infty}=3.3\cdot183.042 = \boxed{604.039}\;\text{м/с}.
\end{align*}

\section*{2. Скорости до скачка}
Для каждой точки $i$:
\[M_{1n,i}=M_{\infty}\sin\theta_{\text{ск}i},\quad V_{1n,i}=M_{1n,i}a_{\infty},\quad V_{1\tau,i}=V_{\infty}\cos\theta_{\text{ск}i}.\]

\subsection*{Точка 1 ($\theta_{\text{ск}1}=90^{\circ}$)}
\begin{align*}
M_{1n,1}&=3.3\sin90^{\circ}=\boxed{3.3},\\
V_{1n,1}&=3.3\cdot183.042=\boxed{604.039}\;\text{м/с},\\
V_{1\tau,1}&=604.039\cos90^{\circ}=\boxed{0}.
\end{align*}

\subsection*{Точка 2 ($\theta_{\text{ск}2}=65^{\circ}$)}
\begin{align*}
M_{1n,2}&=3.3\sin65^{\circ}=\boxed{2.991},\\
V_{1n,2}&=2.991\cdot183.042=\boxed{547.445}\;\text{м/с},\\
V_{1\tau,2}&=604.039\cos65^{\circ}=\boxed{255.278}\;\text{м/с}.
\end{align*}

\subsection*{Точка 3 ($\theta_{\text{ск}3}=35^{\circ}$)}
\begin{align*}
M_{1n,3}&=3.3\sin35^{\circ}=\boxed{1.893},\\
V_{1n,3}&=1.893\cdot183.042=\boxed{346.462}\;\text{м/с},\\
V_{1\tau,3}&=604.039\cos35^{\circ}=\boxed{494.800}\;\text{м/с}.
\end{align*}
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|>{\raggedright\arraybackslash}m{70mm}|c|}
\hline
\textbf{Параметр набегающего потока} & \textbf{Значение}\\\hline
$M_\infty$                         & 3.3\\\hline
$P_{0\infty}$, Па                 & $3{,}242 \cdot 10^{5}$\\\hline
$T_{0\infty}$, К                  & 265\\\hline
$\rho_{0\infty}$, кг/м$^{3}$      & 4.263\\\hline
$P_\infty$, Па                    & $5{,}667 \cdot 10^{3}$\\\hline
$\rho_\infty$, кг/м$^{3}$         & 0.237\\\hline
$T_\infty$, К                     & 83.39\\\hline
$a_\infty$, м/с                   & 183\\\hline
$V_\infty$, м/с                   & 604\\\hline
\end{tabular}
\caption{Параметры набегающего потока}
\end{table}

\section*{3. Параметры за косым скачком}
Формулы:
\begin{align*}
\frac{P_{2}}{P_{1}} &= \frac{2k}{k+1}M_{1n}^{2}-\frac{k-1}{k+1}\\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}&=\frac{(k+1)M_{1n}^{2}}{2+(k-1)M_{1n}^{2}}\\
T_{2} &= T_{1}\,\frac{P_{2}/P_{1}}{\rho_{2}/\rho_{1}}\\
V_{2n} &= V_{1n}\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\\ 
V_{2} &= \sqrt{V_{2n}^{2}+V_{2\tau}^{2}}
\end{align*}

\subsection*{Точка 1}
\begin{align*}
M_{1n,1}^{2}&=3.3^{2}=10.89,\\
\frac{P_{2}}{P_{1}}&=\frac{2\,1.4}{2.4}\,10.89-\frac{0.4}{2.4}=12.73,\\
P_{2}&=12.73\cdot5.667\cdot10^{3}=\boxed{7.105\cdot10^{4}}\;\text{Па},\\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}&=\frac{2.4\,10.89}{2+0.4\,10.89}=4.113,\\
\rho_{2}&=4.113\cdot0.237=\boxed{0.974},\\
T_{2}&=83.386\,\frac{12.73}{4.113}=\boxed{2.543\cdot10^{2}}\;\text{К},\\
a_{2}&=\sqrt{1.4\cdot287\cdot254.3}=\boxed{3.196\cdot10^{2}}\;\text{м/с},\\
V_{2n}&=604.039\,\frac{0.237}{0.974}=\boxed{1.469\cdot10^{2}}\;\text{м/с},\\
V_{2}&=1.469\cdot10^{2} \;(V_{2\tau}=0)=\boxed{1.469\cdot10^{2}},\\
M_{2}&=\frac{1.469\cdot10^{2}}{3.196\cdot10^{2}}=\boxed{0.460},\\
P_{02}&=\frac{7.105\cdot10^{4}}{\pi(0.460)}=\boxed{8.212\cdot10^{4}}\;\text{Па},\\
\nu&=\frac{8.212\cdot10^{4}}{3.242\cdot10^{5}}=\boxed{0.253}.
\end{align*}

\subsection*{Точка 2}
\begin{align*}
M_{1n,2}^{2}&=2.991^{2}=8.947,\\
\frac{P_{2}}{P_{1}}&=9.809,\;\Rightarrow\;P_{2}=\boxed{5.819\cdot10^{4}}\;\text{Па},\\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}&=3.848,\;\Rightarrow\;\rho_{2}=\boxed{0.911},\\
T_{2}&=\frac{9.809}{3.848}\cdot83.386=\boxed{222.5}\;\text{К},\\
a_{2}&=\sqrt{1.4\cdot287\cdot222.5}=\boxed{299.0}\;\text{м/с},\\
V_{2n}&=547.445\,\frac{0.237}{0.911}=\boxed{142.2}\;\text{м/с},\\
V_{2}&=\sqrt{142.2^{2}+255.3^{2}}=\boxed{292.2}\;\text{м/с},\\
M_{2}&=\frac{292.2}{299.0}=\boxed{0.977},\\
P_{02}&=\boxed{1.073\cdot10^{5}}\;\text{Па},\quad
\nu=\boxed{0.331},\\
\beta&=\boxed{35.9^{\circ}}.
\end{align*}

\subsection*{Точка 3}
\begin{align*}
M_{1n,3}^{2}&=1.893^{2}=3.583,\\
\frac{P_{2}}{P_{1}}&=4.019,\;\Rightarrow\;P_{2}=\boxed{2.274\cdot10^{4}}\;\text{Па},\\
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}&=2.504,\;\Rightarrow\;\rho_{2}=\boxed{0.593},\\
T_{2}&=\frac{4.019}{2.504}\cdot83.386=\boxed{133.6}\;\text{К},\\
a_{2}&=\sqrt{1.4\cdot287\cdot133.6}=\boxed{231.7}\;\text{м/с},\\
V_{2n}&=346.462\,\frac{0.237}{0.593}=\boxed{138.3}\;\text{м/с},\\
V_{2}&=\sqrt{138.3^{2}+494.8^{2}}=\boxed{513.8}\;\text{м/с},\\
M_{2}&=\frac{513.8}{231.7}=\boxed{2.217},\\
P_{02}&=\boxed{2.499\cdot10^{5}}\;\text{Па},\quad
\nu=\boxed{0.771},\\
\beta&=\boxed{19.4^{\circ}}.
\end{align*}

\section*{4. Итоговая таблица}
\begin{table}[H]
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabular}{@{}lccc@{}}
\toprule
Параметр & Точка 1 & Точка 2 & Точка 3\\ \midrule
$P_{2}$,\;\text{Па} & $7.105\cdot10^{4}$ & $5.819\cdot10^{4}$ & $2.274\cdot10^{4}$\\
$\rho_{2}$,\;$\text{кг/м}^{3}$ & 0.974 & 0.911 & 0.593\\
$T_{2}$,\;\text{К} & 254.3 & 222.5 & 133.6\\
$a_{2}$,\;\si{m/s} & 319.6 & 299.0 & 231.7\\
$V_{2n}$,\;\si{m/s} & 146.9 & 142.2 & 138.3\\
$V_{2\tau}$,\;\si{m/s} & 0 & 255.3 & 494.8\\
$V_{2}$,\;\si{m/s} & 146.9 & 292.2 & 513.8\\
$M_{2}$ & 0.460 & 0.977 & 2.217\\
$P_{02}$,\;\text{Па} & $8.212\cdot10^{4}$ & $1.073\cdot10^{5}$ & $2.499\cdot10^{5}$\\
$\nu$ & 0.253 & 0.331 & 0.771\\
$\beta$,\;$^{\circ}$ & 0 & 35.9 & 19.4\\ \bottomrule
\end{tabular}
\caption{Параметры за скачком уплотнения (уточнённые)}
\end{table}


\section*{Выводы}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Точка 1}\,($\theta_{\text{ск}}=90^\circ$).  
      Давление увеличивается примерно в 12{,}7 раз ($P_{2}\approx7{,}1\cdot10^{4}\:$Па),  
      температура — до 254 К, число Маха падает до $M_{2}\approx0{,}46$.  
      Это хорошо согласуется с табличными данными для нормального скачка при $M_{1}\approx3{,}3$.  
      Коэффициент восстановления полного давления низкий: $\nu\approx0{,}25$.

\item \textbf{Точка 2}\,($\theta_{\text{ск}}=65^\circ$).  
      Давление растёт в $\sim9{,}8$ раз, температура — до 222 К;  
      поток выходит на границу дозвукового ($M_{2}\approx0{,}98$).  
      Для углов 60–70$^\circ$ при $M_{1}\approx3$ такие значения считаются типичными.  
      Потери полного давления умеренные — $\nu\approx0{,}33$.

\item \textbf{Точка 3}\,($\theta_{\text{ск}}=35^\circ$).  
      Слабый скачок: $P_{2}/P_{1}\approx4$, $T_{2}\approx134$ К,  
      поток остаётся сверхзвуковым ($M_{2}\approx2{,}2$).  
      Коэффициент восстановления наилучший: $\nu\approx0{,}77$.

\item \textbf{Общая тенденция.}  
      При увеличении угла фронта скачка возрастают $P_{2}$, $\rho_{2}$, $T_{2}$ и падают $M_{2}$,  
      но коэффициент восстановления $\nu$ уменьшается (потери растут).  
      Диапазоны $P_{2}= (2\text{–}7)\cdot10^{4}\:$Па и $\rho_{2}=0{,}59\text{–}0{,}97\ \text{кг/м}^{3}$  
      соразмерны исходным $P_{1}$ и $\rho_{1}$; температуры после скачка  
      (130–255 К) естественно выше $T_{1}=83$ К, но ниже стандартной.
\end{enumerate}

\end{document}