\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{caption}
\usepackage{indentfirst}

\linespread{1.3}
\frenchspacing
\setlength{\parindent}{1.25cm}

\begin{document}

\pagenumbering{gobble}
\tableofcontents
\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\section{Задание 1. Анализ линейной системы}

В соответствии с вариантом 28 задана передаточная функция линейного объекта управления:
\[
W_0(s)=
\frac{0.0005172\,s^2 - 0.01877\,s - 0.008079}
{s^3 + 2.864\,s^2 + 3.574\,s + 1.266}.
\]

Требуется, используя технику корневого годографа, синтезировать систему управления, обладающую следующими свойствами:
\begin{itemize}
    \item система должна быть астатической первого порядка;
    \item перерегулирование переходного процесса не должно превышать 20\%;
    \item за время переходного процесса допускается не более трёх колебаний.
\end{itemize}

\subsection{Выбор структуры корректирующего устройства}

Для получения астатизма первого порядка необходимо наличие одного интегрирующего звена в разомкнутом контуре. В качестве корректирующего устройства выберем регулятор следующего вида:
\[
W_k(s) = K \frac{s + z}{s(s + p)},
\]
где:
\begin{itemize}
    \item полюс в начале координат $s=0$ обеспечивает астатизм первого порядка;
    \item нуль $s=-z$ и дополнительный полюс $s=-p$ используются для формирования требуемой динамики;
    \item коэффициент усиления $K$ подбирается по корневому годографу.
\end{itemize}

Разомкнутая система имеет передаточную функцию:
\[
L(s) = W_k(s) W_0(s).
\]

\subsection{Анализ корневого годографа}

На рисунке~\ref{fig:rlocus} приведён корневой годограф разомкнутой системы $L(s)$ при выбранных параметрах корректирующего устройства.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/1/rlocus.png}
\caption{Корневой годограф разомкнутой системы $L(s)=W_k(s)W_0(s)$}
\label{fig:rlocus}
\end{figure}

Анализ корневого годографа показал, что при коэффициенте усиления
\[
K = -804.45
\]
корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют вид
\[
s_{1,2} = -0.68 \pm j\,1.21,\quad
s_3 = -1.09,\quad
s_4 = -0.35,\quad
s_5 = -17.7.
\]
Доминирующей является комплексно-сопряжённая пара корней
$s_{1,2} = -0.68 \pm j\,1.21$.
Коэффициент затухания, соответствующий данной паре, составляет
\[
\zeta \approx 0.49,
\]
что обеспечивает перерегулирование менее 20\% и выполнение требований
к качеству переходного процесса.
Остальные корни расположены значительно левее доминирующих и не оказывают
существенного влияния на динамику системы.

\subsection{Переходная характеристика}

Замкнутая система с единичной отрицательной обратной связью описывается передаточной функцией:
\[
W_{cl}(s) = \frac{L(s)}{1 + L(s)}.
\]

На рисунке~\ref{fig:step} представлена переходная характеристика системы после введения корректирующего устройства.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{img/1/step.png}
\caption{Переходная характеристика системы после коррекции}
\label{fig:step}
\end{figure}

По графику переходного процесса можно сделать следующие выводы:
\begin{itemize}
    \item перерегулирование не превышает 20\%;
    \item переходный процесс имеет не более одного слабовыраженного колебания;
    \item система устойчива и быстро выходит на установившееся значение;
    \item благодаря наличию интегрирующего звена установившаяся ошибка по ступенчатому воздействию отсутствует.
\end{itemize}

\subsection{Выводы}

В ходе выполнения задания методом корневого годографа была синтезирована астатическая система первого порядка для объекта управления. Подбор структуры и параметров корректирующего устройства позволил обеспечить требуемые показатели качества переходного процесса: ограничение перерегулирования до 20\% и отсутствие многократных колебаний.

Полученные результаты подтверждаются анализом корневого годографа и переходной характеристики, что свидетельствует о корректности выполненного синтеза и соответствии системы заданным требованиям.


\section{Задание 2. Анализ нелинейной системы}

\subsection{Постановка задачи}

Рассматривается двумерная нелинейная система дифференциальных уравнений варианта 19:
\[
\begin{cases}
\dot x = (x - y)^2 (x - 2)(y + 2), \\
\dot y = x + y^2.
\end{cases}
\]

Требуется:
\begin{itemize}
    \item построить фазовый портрет системы;
    \item определить положения особых (неподвижных) точек;
    \item провести линейный анализ устойчивости особых точек;
    \item построить фазовые траектории и временные реализации в окрестностях особых точек;
    \item исследовать наличие предельных циклов.
\end{itemize}

\subsection{Нулклины и особые точки}

Нулклины системы определяются из условий $\dot x = 0$ и $\dot y = 0$.

Из уравнения $\dot y = 0$ получаем:
\[
x + y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -y^2.
\]

Из уравнения $\dot x = 0$:
\[
(x - y)^2 (x - 2)(y + 2) = 0,
\]
откуда
\[
x = y,\quad x = 2,\quad y = -2.
\]

Пересечение нулклин даёт следующие особые точки системы:
\[
(0,0), \quad (-1,-1), \quad (-4,-2).
\]

\subsection{Фазовый портрет системы}

Фазовый портрет системы представлен на рис.~\ref{fig:phase_portrait}.
На нём изображено поле направлений, нулклины и особые точки.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/2/phase_portrait_v19.png}
\caption{Фазовый портрет нелинейной системы (вариант 19)}
\label{fig:phase_portrait}
\end{figure}

Из фазового портрета видно, что поведение системы существенно различается в различных областях фазовой плоскости. В окрестности точки $(-4,-2)$ наблюдается спиральное движение траекторий к особой точке.

\subsection{Линейный анализ особых точек}

Для линейного анализа используется матрица Якоби:
\[
J =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \dot x}{\partial x} & \frac{\partial \dot x}{\partial y} \\
\frac{\partial \dot y}{\partial x} & \frac{\partial \dot y}{\partial y}
\end{pmatrix}.
\]

\paragraph{Точка $(-4,-2)$.}
В данной точке собственные значения матрицы Якоби являются комплексно-сопряжёнными с отрицательной действительной частью:
\[
\lambda_{1,2} = -2 \pm j\,2\sqrt{5}.
\]
Следовательно, точка $(-4,-2)$ является \textbf{устойчивым фокусом}, что подтверждается фазовым портретом и временными реализациями.

\paragraph{Точка $(-1,-1)$.}
В данной точке одно из собственных значений равно нулю, второе отрицательно:
\[
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = -2.
\]
Точка является \textbf{вырожденной (негиперболической)}. Линейный анализ не даёт полной классификации, однако численное моделирование показывает асимптотическое приближение траекторий к данной точке.

\paragraph{Точка $(0,0)$.}
Оба собственных значения равны нулю:
\[
\lambda_{1,2} = 0.
\]
Точка $(0,0)$ также является вырожденной. Численные эксперименты показывают, что она не является устойчивым аттрактором: траектории покидают её окрестность за конечное время.

\subsection{Фазовые траектории}

Примеры фазовых траекторий, соответствующие различным начальным условиям, представлены на рис.~\ref{fig:phase_traj}.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/2/phase_trajectories_examples.png}
\caption{Фазовые траектории при различных начальных условиях}
\label{fig:phase_traj}
\end{figure}

\subsection{Временные реализации}

На рис.~\ref{fig:time_m1m1} приведены временные реализации в окрестности точки $(-1,-1)$, из которых видно медленное асимптотическое сближение с данной точкой.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/2/time_series_near_-1_-1.png}
\caption{Временные реализации в окрестности точки $(-1,-1)$}
\label{fig:time_m1m1}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:time_m4m2} представлены временные реализации в окрестности устойчивого фокуса $(-4,-2)$, где наблюдается затухающая колебательная динамика.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/2/time_series_near_-4_-2.png}
\caption{Временные реализации в окрестности точки $(-4,-2)$}
\label{fig:time_m4m2}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:time_00} показаны временные реализации в окрестности точки $(0,0)$, из которых видно резкое расхождение траекторий.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/2/time_series_near_0_0.png}
\caption{Временные реализации в окрестности точки $(0,0)$}
\label{fig:time_00}
\end{figure}

\subsection{Предельные циклы}

В ходе численного анализа фазового портрета и временных реализаций замкнутые изолированные траектории, соответствующие предельным циклам, не обнаружены.

\subsection{Выводы}

В результате анализа нелинейной системы были определены три особые точки. Точка $(-4,-2)$ является устойчивым фокусом и глобальным аттрактором для широкого класса начальных условий. Точки $(-1,-1)$ и $(0,0)$ являются вырожденными и требуют нелинейного анализа, при этом $(0,0)$ является неустойчивой.

Полученные результаты подтверждаются фазовым портретом, фазовыми траекториями и временными реализациями, что свидетельствует о корректности проведённого анализа.


\section{Задание 3. Дискретная система управления}

\subsection{Постановка задачи}
Для представленной дискретной системы (рис. из задания) требуется определить параметры регулятора
$f$ в обратной связи, обеспечивающего заданную динамику в соответствии с вариантом.
Период дискретизации принять $T_0=1$ с. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

\subsection{Передаточная функция объекта}
Для 2 варианта задана передаточная функция дискретного объекта:
\[
W_0(z)=\frac{1.678\,z-0.8747}{z^2-0.1278\,z-0.6425}.
\]

\subsection{Математическая модель, соответствующая структурной схеме}
Схема соответствует дискретной модели в пространстве состояний:
\[
x[k+1]=A\,x[k]+b\,u[k],\qquad y[k]=c\,x[k],
\]
а регулятор реализует обратную связь по состоянию:
\[
u[k]=r[k]-f\,x[k],
\]
где для системы второго порядка $f=\begin{pmatrix}f_1&f_2\end{pmatrix}$.
Тогда матрица замкнутой системы:
\[
A_{cl}=A-bf.
\]

Построим управляемую каноническую реализацию по знаменателю
$z^2+a_1 z+a_2$, где $a_1=-0.1278$, $a_2=-0.6425$:
\[
A=\begin{pmatrix}-a_1&-a_2\\1&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0.1278&0.6425\\1&0\end{pmatrix},\quad
b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad
c=\begin{pmatrix}1.678&-0.8747\end{pmatrix}.
\]

\subsection{Выбор желаемой динамики и вычисление $f$}
Согласно условию задания характеристический полином выбирается из условия обеспечения
наименьшего времени переходного процесса. Для дискретной системы наиболее быстрый
апериодический режим достигается при deadbeat-настройке, т.е. при выборе полюсов в нуле:
\[
\Delta_{des}(z)=z^2.
\]

Запишем матрицу замкнутой системы:
\[
A_{cl}=A-bf=
\begin{pmatrix}
0.1278-f_1 & 0.6425-f_2\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Её характеристический полином имеет вид
\[
\Delta_{cl}(z)=z^2-(0.1278-f_1)z-(0.6425-f_2).
\]
Приравнивая $\Delta_{cl}(z)\equiv z^2$, получаем:
\[
0.1278-f_1=0,\qquad 0.6425-f_2=0,
\]
откуда параметры регулятора:
\[
\boxed{f=\begin{pmatrix}0.1278&0.6425\end{pmatrix}.}
\]

\subsection{Моделирование переходного процесса}
На рис.~\ref{fig:step_before_v2} показан переходный процесс до введения обратной связи по состоянию
($f=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}$). Полюса замкнутой системы при этом:
\[
z_{1,2}=\{0.8680,\,-0.7402\}.
\]
Наличие корня $z=0.8680$, близкого к единице, приводит к заметно медленному затуханию и большому времени установления.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/3/step_before_v2.png}
\caption{Переходный процесс до ($f=[0\;0]$)}
\label{fig:step_before_v2}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:step_after_v2} показан переходный процесс после введения регулятора
$f=\begin{pmatrix}0.1278&0.6425\end{pmatrix}$. Полюса замкнутой системы:
\[
z_{1,2}=\{0,\,0\},
\]
что соответствует deadbeat-режиму и обеспечивает минимальное время переходного процесса
(выход достигает установившегося значения за конечное число дискретных шагов).

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/3/step_after_v2.png}
\caption{Переходный процесс после ($f=[0.1278\;0.6425]$)}
\label{fig:step_after_v2}
\end{figure}

\subsection{Выводы}
Для дискретной системы варианта 2 был синтезирован регулятор в обратной связи по состоянию,
обеспечивающий наименьшее время переходного процесса. Получены параметры:
\[
f=\begin{pmatrix}0.1278&0.6425\end{pmatrix}.
\]
Моделирование подтверждает ускорение динамики: до введения регулятора система имеет полюс
$z=0.8680$, что приводит к медленному переходному процессу, тогда как после введения обратной связи
полюса перенесены в ноль ($z_{1,2}=0$), и переходный процесс становится deadbeat-типа.


\section{Задание 4. Анализ результатов моделирования}

На рис.~\ref{fig:pid_step} приведён переходный процесс дискретной системы
с ПИД-регулятором при периоде дискретизации $T_0 = 0.1$~с.
Из графика видно, что система устойчива и обладает следующими свойствами:
\begin{itemize}
    \item перерегулирование не превышает 10\%;
    \item переходный процесс имеет затухающие колебания;
    \item время установления составляет порядка 4–5~с;
    \item установившаяся ошибка отсутствует.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/4/pid_step.png}
\caption{Переходный процесс дискретной системы с ПИД-регулятором}
\label{fig:pid_step}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:task1_step} показан переходный процесс системы,
полученной в задании~1 и дискретизованной при том же периоде $T_0$ для корректного сравнения.
Данный процесс характеризуется меньшим перерегулированием, однако большим временем
установления (порядка 7–8~с).

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{img/4/task1_step_discretized.png}
\caption{Переходный процесс системы из задания 1}
\label{fig:task1_step}
\end{figure}

\subsection{Выводы}

В задании 4 был синтезирован дискретный ПИД-регулятор для объекта варианта~28
при периоде дискретизации $T_0 = 0.1$~с. Полученный регулятор обеспечивает
быстрый и устойчивый переходный процесс с умеренным перерегулированием и
нулевой установившейся ошибкой.

Сравнение с результатом задания~1 показывает, что ПИД-регулятор обеспечивает
меньшее время переходного процесса, однако сопровождается несколько большим
перерегулированием. Регулятор, полученный в задании~1, обладает более плавной
динамикой и меньшей колебательностью, но уступает по быстродействию.

Таким образом, дискретный ПИД-регулятор является более предпочтительным
в задачах, где требуется высокая скорость регулирования,
тогда как регулятор из задания~1 обеспечивает более консервативную динамику.


\end{document}
